On considère la fonction f définie par f\left(x\right)=-x^{2}-3x+1.
On donne sa représentation graphique D_{1} :
Quelle est la résolution sur \mathbb{R} de l'équation suivante ?
-x^{2}-3x+1=1
-x^{2}-3x+1=1
En ajoutant -1 aux deux membres de l'équation, on obtient :
-x^{2}-3x=0
On factorise par x :
x\left(-x-3\right)=0
Un produit de facteurs est égal à 0 si et seulement si l'un des facteurs est nul. On en déduit :
x = 0 ou x = -3
L'équation admet deux solutions : x = 0 et x = -3.
Quels sont les antécédents de 1 par f ?
Les antécédents de 1 par f sont les solutions de l'équation :
f\left(x\right)=1
Cela revient à résoudre l'équation résolue précédemment :
-x^{2}-3x+1=1
Les antécédents de 1 par f sont donc 0 et -3.
Quels sont les antécédents, graphiquement déterminés, de -3 par f ?
Pour déterminer graphiquement les antécédents de -3 par f, on trace la droite horizontale coupant l'axe des ordonnées par -3, et on lit les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe D_{1} :
Les antécédents de -3 par f sont -4 et 1.