Une échelle est appuyée à un mur. Pour qu'elle ne glisse pas, l'angle qu'elle fait avec le sol doit être supérieur à 60°.
Sachant que l'échelle mesure 3 m et qu'elle est appuyée à un point qui se trouve à 1,8 m du mur, l'échelle va-t-elle glisser ?
On nommera A l'extrémité de l'échelle qui touche le sol, C l'extrémité de l'échelle qui touche le mur, et B le point d'intersection entre le mur et le sol.
Pour que l'échelle soit stable, il faut que l'angle \widehat{BAC}\gt60°.
On constate que le triangle ABC est rectangle en B, tel que AC = 3 m et AB = 1{,}8 m.
On aura donc :
\cos\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1{,}8}{3}
Donc : \widehat{BAC}=\arccos\left(\dfrac{1{,}8}{3}\right)=53{,}13°
On remarque donc que l'angle \widehat{BAC} est inférieur à 60°.
On peut donc conclure que l'échelle ne sera pas stable et va glisser.
À quelle distance maximum du mur peut-on positionner l'échelle ?
On sait que la mesure de l'angle \widehat{BAC} ne doit pas être inférieure à 60°.
On va donc calculer la distance AB lorsque que l'angle \widehat{BAC}=60°.
On aura donc :
\cos\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{AB}{AC}
\cos\left(60°\right)=\dfrac{AB}{3}
AB=\cos\left(60°\right)\times3=1{,}5
L'échelle ne doit pas être placée à une distance du mur supérieure à 1,5 m.