Les lois empiriques de Kepler régissent les mouvements des astres dans le système solaire. Pour ces mouvements généralement circulaires ou elliptiques, l'application des lois de Newton nécessite l'utilisation d'un repère mobile.
Les lois de Kepler
Kepler a énoncé les lois qui portent son nom en analysant ses observations du mouvement des planètes et des satellites du système solaire. Dans la suite du cours, elles seront vues sous l'angle du mouvement des planètes autour du Soleil mais elles s'appliquent aussi aux mouvements des autres astres autour du Soleil et à celui des satellites autour des planètes.
La 1re loi de Kepler
1re loi de Kepler
Dans le référentiel héliocentrique, les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil est l'un des foyers.
La plupart des planètes du système solaire ont des orbites elliptiques à l'excentricité très peu marquée, c'est-à-dire qu'elles sont quasiment circulaires. Ce n'est pas le cas des orbites de Pluton (qui n'est plus considérée comme une planète) et d'Éris (un des corps rocheux orbitant à la frontière du système solaire), qui sont bien plus excentriques.
La 2e loi de Kepler
L'orbite d'une planète étant elliptique, la distance qui la sépare du Soleil varie au cours de son mouvement.
Aphélie et périhélie
Le long de l'orbite d'une planète, on repère les points pour lesquels la distance qui la sépare du Soleil est extrémale :
- L'aphélie est le point pour lequel la planète est la plus éloignée du Soleil.
- Le périhélie est le point pour lequel la planète est la plus proche du Soleil.
Le rayon liant une planète dont l'orbite est elliptique au Soleil est plus important à proximité de son aphélie que de son périhélie. Ainsi, puisque l'aire qu'il balaie en des durées égales est la même qu'en d'autres points de son orbite, la planète se déplace moins vite lorsqu'elle est au niveau de son aphélie. En conséquence, la vitesse de la planète est :
- Maximale au niveau de son périhélie
- Minimale au niveau de son aphélie
La 3e loi de Kepler
La 3e loi de Kepler relie la période de révolution d'une planète au demi grand axe de son orbite :
3e loi de Kepler
Le carré de la période de révolution \(\displaystyle{T}\) d'une planète est proportionnel au cube du demi grand axe \(\displaystyle{a}\) de l'orbite elliptique de la planète :
\(\displaystyle{\dfrac{T^2}{a^3} = k}\)
Avec :
- \(\displaystyle{T }\) : période de révolution (en \(\displaystyle{\text{ s}}\) )
- \(\displaystyle{a}\) : demi grand axe de l'ellipse ou rayon si l'orbite est quasiment circulaire (en \(\displaystyle{\text{ m}}\) )
- \(\displaystyle{k}\) : constante identique pour toutes les planètes (en \(\displaystyle{\text{ s}^{2}.\text{m}^{−3}}\) )
| Planètes | Périodes de révolution T | Rayons de l'orbite r | Rapports \(\displaystyle{\dfrac{T^2}{r^3}}\) |
| Terre | 365,25 jours = \(\displaystyle{3,16 \times 10^7}\) s | \(\displaystyle{1,50 \times 10^{11}}\) m | \(\displaystyle{2,95 \times 10^{-17}}\) s2.m−3 |
| Jupiter | 4335,35 jours = \(\displaystyle{3,75 \times 10^8}\) s | \(\displaystyle{7,81 \times 10^{11}}\) m | \(\displaystyle{2,95 \times 10^{-17}}\) s2.m−3 |
Application de la 2e loi de Newton aux mouvements des astres
On étudie le mouvement d'un objet \(\displaystyle{O}\), de masse \(\displaystyle{m}\), attiré par un astre \(\displaystyle{A}\) de masse \(\displaystyle{M}\).
Le repère mobile (ou repère de Frenet)
On étudie le mouvement d'un objet \(\displaystyle{O}\), de masse \(\displaystyle{m}\), attiré par un astre \(\displaystyle{A}\) de masse \(\displaystyle{M}\). L'objet \(\displaystyle{O}\) étant en rotation, on utilise un repère mobile (ou repère de Frenet) \(\displaystyle{\left(O, \overrightarrow{u_N}, \overrightarrow{u_T} \right)}\), qui simplifie les composantes du vecteur accélération.
Repère mobile (ou repère de Frenet)
Le repère mobile (ou repère de Frenet) \(\displaystyle{\left(O, \overrightarrow{u_N}, \overrightarrow{u_T} \right)}\) associé à un objet en orbite autour d'un astre A est défini à partir :
- De son origine, située au niveau du centre de l'objet \(\displaystyle{O}\) .
- D'un vecteur unitaire \(\displaystyle{\overrightarrow{u_N}}\) qui est perpendiculaire à la trajectoire de l'objet \(\displaystyle{O}\).
- D'un vecteur unitaire \(\displaystyle{\overrightarrow{u_T}}\) qui est tangent à la trajectoire de l'objet \(\displaystyle{O}\).
Dans le repère mobile \(\displaystyle{\left(O, \overrightarrow{u_N}, \overrightarrow{u_T} \right)}\), les composantes du vecteur accélération de l'objet \(\displaystyle{O}\) sont :
\(\displaystyle{\overrightarrow{a} \begin{cases} a_T = \dfrac{dv}{dt} \cr \cr a_N = \dfrac{v²}{AO} = \dfrac{v²}{r}\end{cases}}\)
Où \(\displaystyle{AO }\) est la distance qui sépare l'objet \(\displaystyle{O}\) de l'astre attracteur \(\displaystyle{A}\) et est donc aussi le rayon \(\displaystyle{r}\) de son orbite.
Le bilan des forces
La seule force que subit l'objet \(\displaystyle{O}\) est l'attraction gravitationnelle qu'exerce sur lui l'astre \(\displaystyle{A}\).
Loi universelle de la gravitation
Deux corps \(\displaystyle{A}\) et \(\displaystyle{B}\) de masses respectives \(\displaystyle{m_A}\) et \(\displaystyle{m_B}\), séparés par la distance \(\displaystyle{r}\), s'attirent mutuellement du fait de l'interaction gravitationnelle. Cette interaction est modélisée par des forces attractives \(\displaystyle{\overrightarrow{F_{A/B}}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{F_{B/A}}}\) telles que :
\(\displaystyle{\overrightarrow{F_{A/B}}= - \overrightarrow{F_{B/A}}= - G \dfrac{m_A\times m_B}{r^2}\overrightarrow{e_{AB}}}\)
Avec :
- \(\displaystyle{G}\) la constante universelle de gravitation : \(\displaystyle{G=6,67.10^{-11} \text{ m}^3.\text{kg}^{−1}.\text{s}^{−2}}\)
- \(\displaystyle{m_A}\) la masse du corps \(\displaystyle{A}\) (en \(\displaystyle{\text{kg}}\) )
- \(\displaystyle{m_B}\) la masse du corps \(\displaystyle{B}\) (en \(\displaystyle{\text{kg}}\) )
- \(\displaystyle{r}\) la distance entre les deux corps (en \(\displaystyle{\text{m}}\) )
- \(\displaystyle{\overrightarrow{e_{AB}}}\) le vecteur unitaire orienté de \(\displaystyle{A}\) vers \(\displaystyle{B}\)
La Terre exerce une force d'attraction sur la Lune identique mais de sens opposé à celle qu'exerce la Lune sur la Terre. Pour la calculer, il faut connaître :
- La masse de la Terre : \(\displaystyle{M_\text{T}=5,97.10^{24} \text{ kg}}\)
- La masse de la Lune : \(\displaystyle{M_\text{L}=7,33.10^{22} \text{ kg}}\)
- La distance Terre − Lune : \(\displaystyle{R_\text{TL}=3,84.10^{8}\text{ m}}\)
La force d'attraction entre la Terre et la Lune vaut donc :
\(\displaystyle{F_{A/B}=G\cdot\dfrac{M\cdot m}{r^2}}\)
\(\displaystyle{F_\text{Terre/Lune}=G\cdot\dfrac{M_\text{T}\cdot M_\text{L}}{R_\text{TL}^2}}\)
\(\displaystyle{F_\text{Terre/Lune}=6,67.10^{-11}\times\dfrac{5,97.10^{24}\times 7,33.10^{22}}{\left( 3,84.10^8 \right)^2}}\)
\(\displaystyle{F_\text{Terre/Lune}=1,98.10^{20} \text{ N}}\)
L'application de la 2e loi de Newton
Avant d'appliquer la 2e loi de Newton, il faut :
- Définir le système : objet \(\displaystyle{O}\) de masse \(\displaystyle{m}\), en orbite circulaire autour de l'astre \(\displaystyle{A}\) avec un rayon \(\displaystyle{r}\).
- Définir le référentiel d'étude : référentiel considéré galiléen rattaché à l'astre \(\displaystyle{A}\) considéré fixe.
- Faire le bilan des forces : force d'attraction gravitationnelle exercée par l'astre \(\displaystyle{A}\) sur l'objet \(\displaystyle{O}\) d'expression \(\displaystyle{\overrightarrow{F_{A/O}}= G\dfrac{M \times m}{r^2} \overrightarrow{u_{N}} }\).
Composantes du vecteur accélération
En appliquant la 2e loi de Newton, à l'objet \(\displaystyle{O}\) de masse constante, on obtient :
\(\displaystyle{\sum_{}^{} \overrightarrow{F_{ext}} = m \overrightarrow{a}}\)
\(\displaystyle{m \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F_{A/O}}= G\dfrac{M \times m}{r^2} \overrightarrow{u_{N}}}\)
\(\displaystyle{\overrightarrow{a} = G\dfrac{M }{r^2} \overrightarrow{u_{N}}}\)
Soit :
\(\displaystyle{\overrightarrow{a}\begin{cases} a_T = \dfrac{dv}{dt} = 0 \cr \cr a_N = \dfrac{v²}{r} = G\dfrac{M }{r^2} \end{cases}}\)
Les conséquences de l'équation du mouvement
L'équation du mouvement de l'objet \(\displaystyle{O}\) en rotation autour de l'astre \(\displaystyle{A}\) permet d'affirmer que :
- Le mouvement circulaire est forcément uniforme : puisque \(\displaystyle{a_T = \dfrac{dv}{dt} = 0}\), \(\displaystyle{v}\) est constante.
- La valeur de la vitesse de l'objet \(\displaystyle{O}\) est : \(\displaystyle{v = \sqrt{\dfrac{G.M }{r}}}\) puisque \(\displaystyle{a_N = \dfrac{v²}{r} = G\dfrac{M }{r^2}}\).
- La période de révolution \(\displaystyle{T}\) de l'objet \(\displaystyle{O}\) est telle que \(\displaystyle{T^2 = \dfrac{4 \pi^2 r^3}{G.M}}\) (on retrouve ainsi la 3e loi de Kepler), puisque la durée mise par cet objet à effectuer un tour autour de l'astre \(\displaystyle{A}\) est donnée par : \(\displaystyle{T = \dfrac{d}{v} = \dfrac{2 \pi r}{v} = \dfrac{2 \pi r}{\sqrt{\dfrac{G.M }{r}}}}\), soit \(\displaystyle{T^2 = \dfrac{4 \pi^2 r^3}{G.M}}\).
On veut calculer la période de révolution \(\displaystyle{T_\text{T}}\) de la Terre autour du Soleil sachant que la distance Terre-Soleil \(\displaystyle{R_\text{TS}}\) vaut \(\displaystyle{1,50.1\ 011 \text{ m}}\) et que la masse du Soleil \(\displaystyle{M_\text{S}}\) vaut \(\displaystyle{2,00.1\ 030 \text{ kg}}\). En appliquant la formule, on trouve :
\(\displaystyle{T=2\Pi \cdot\sqrt{\dfrac{r^3}{G\cdot M}}}\)
\(\displaystyle{T_\text{T}=2\Pi \cdot\sqrt{\dfrac{R_\text{ST}^3}{G\cdot M_\text{S}}}}\)
\(\displaystyle{T_\text{T}=2\Pi \cdot\sqrt{\dfrac{\left( 1,50.10^{11} \right)^3}{6,67.10^{-11}\times2,00.10^{30}}}}\)
\(\displaystyle{T_\text{T}=3,16.10^7 \text{s}=366 \text{ jours}}\)
Application : altitude d'un satellite géostationnaire
Satellite géostationnaire
Un satellite géostationnaire est un satellite qui se déplace de manière exactement synchrone avec la planète et reste constamment au-dessus du même point de la surface.
Altitude d'un satellite géostationnaire
D'après l'application de la 2e loi de Newton, la période de révolution d'un satellite en orbite autour de la Terre est donnée par la relation :
\(\displaystyle{T^2 = \dfrac{4 \pi^2 r^3}{G.M}}\)
Où :
- \(\displaystyle{T}\) est la période de révolution du satellite et est égale à 24 heures dans le cas d'un satellite géostationnaire.
- \(\displaystyle{G}\) est la constante de la gravitation \(\displaystyle{G = 6,67 \times 10^{-11} \text {N.m}^{2}.\text{kg}^{−2}}\)
- \(\displaystyle{M_\text{T}}\) est la masse de la Terre, \(\displaystyle{M_\text{T} = 5,98 \times 10^{24} \text{ kg}}\).
- \(\displaystyle{r}\) est le rayon de l'orbite du satellite et est lié au rayon de la Terre \(\displaystyle{R_\text{T}}\) (qui vaut 6370 km) et à l'altitude \(\displaystyle{h}\) du satellite : \(\displaystyle{r = R_T + h}\)
Ainsi :
\(\displaystyle{T^2 = \dfrac{4 \pi^2 \left(R_\text{T} + h\right)^3}{G.M}}\) et \(\displaystyle{h =\sqrt[3]{\frac{G.M.T^2}{4 \pi^2}} - R_\text{T}}\)
La seule altitude possible pour un satellite géostationnaire est donc :
\(\displaystyle{h =\sqrt[3]{\frac{G.M.T^2}{4 \pi^2}} - R_\text{T}}\)
\(\displaystyle{h =\sqrt[3]{\frac{6,67 \times 10^{-11} \times 5,98 \times 10^{24} \times \left(24 \times 3\ 600\right)^2 }{4 \pi^2}} - 6\ 370 \times 10^3}\)
\(\displaystyle{h = 3,59 \times 10^7 \text{ m}}\)
\(\displaystyle{h = 3,59 \times 10^4 \text{ km}}\)
Soit environ \(\displaystyle{36\ 000 \text{ km}}\).