Les lois empiriques de Kepler régissent les mouvements des astres dans le système solaire. Pour ces mouvements généralement circulaires ou elliptiques, l'application des lois de Newton nécessite l'utilisation d'un repère mobile.
Kepler a énoncé les lois qui portent son nom en analysant ses observations du mouvement des planètes et des satellites du système solaire. Dans la suite du cours, elles seront vues sous l'angle du mouvement des planètes autour du Soleil mais elles s'appliquent aussi aux mouvements des autres astres autour du Soleil et à celui des satellites autour des planètes.
Dans le référentiel héliocentrique, les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil est l'un des foyers.
La plupart des planètes du système solaire ont des orbites elliptiques à l'excentricité très peu marquée, c'est-à-dire qu'elles sont quasiment circulaires. Ce n'est pas le cas des orbites de Pluton (qui n'est plus considérée comme une planète) et d'Éris (un des corps rocheux orbitant à la frontière du système solaire), qui sont bien plus excentriques.
L'orbite d'une planète étant elliptique, la distance qui la sépare du Soleil varie au cours de son mouvement.
Le long de l'orbite d'une planète, on repère les points pour lesquels la distance qui la sépare du Soleil est extrémale :
Le segment reliant une planète au Soleil balaie des aires égales en des durées égales.
Le rayon liant une planète dont l'orbite est elliptique au Soleil est plus important à proximité de son aphélie que de son périhélie. Ainsi, puisque l'aire qu'il balaie en des durées égales est la même qu'en d'autres points de son orbite, la planète se déplace moins vite lorsqu'elle est au niveau de son aphélie. En conséquence, la vitesse de la planète est :
La 3e loi de Kepler relie la période de révolution d'une planète au demi grand axe de son orbite :
La période de révolution, souvent notée T, est la durée nécessaire pour qu'une planète boucle son orbite autour du Soleil.
La période de révolution de la Terre autour du Soleil est de 365,25 jours.
Le carré de la période de révolution T d'une planète est proportionnel au cube du demi grand axe a de l'orbite elliptique de la planète :
\dfrac{T^2}{a^3} = k
Avec :
| Planètes | Périodes de révolution T | Rayons de l'orbite r | Rapports \dfrac{T^2}{r^3} |
| Terre | 365,25 jours = 3{,}16 \times 10^7 s | 1{,}50 \times 10^{11} m | 2{,}95 \times 10^{-17} s2.m−3 |
| Jupiter | 4335,35 jours = 3{,}75 \times 10^8 s | 7{,}81 \times 10^{11} m | 2{,}95 \times 10^{-17} s2.m−3 |
On étudie le mouvement d'un objet O, de masse m, attiré par un astre A de masse M.
On étudie le mouvement d'un objet O, de masse m, attiré par un astre A de masse M. L'objet O étant en rotation, on utilise un repère mobile (ou repère de Frenet) \left(O, \overrightarrow{u_N}, \overrightarrow{u_T} \right), qui simplifie les composantes du vecteur accélération.
Le repère mobile (ou repère de Frenet) \left(O, \overrightarrow{u_N}, \overrightarrow{u_T} \right) associé à un objet en orbite autour d'un astre A est défini à partir :
Dans le repère mobile \left(O, \overrightarrow{u_N}, \overrightarrow{u_T} \right), les composantes du vecteur accélération de l'objet O sont :
\overrightarrow{a} \begin{cases} a_T = \dfrac{dv}{dt} \cr \cr a_N = \dfrac{v²}{AO} = \dfrac{v²}{r}\end{cases}
Où AO est la distance qui sépare l'objet O de l'astre attracteur A et est donc aussi le rayon r de son orbite.
La seule force que subit l'objet O est l'attraction gravitationnelle qu'exerce sur lui l'astre A.
Deux corps A et B de masses respectives m_A et m_B, séparés par la distance r, s'attirent mutuellement du fait de l'interaction gravitationnelle. Cette interaction est modélisée par des forces attractives \overrightarrow{F_{A/B}} et \overrightarrow{F_{B/A}} telles que :
\overrightarrow{F_{A/B}}= - \overrightarrow{F_{B/A}}= - G \dfrac{m_A\times m_B}{r^2}\overrightarrow{e_{AB}}
Avec :
La Terre exerce une force d'attraction sur la Lune identique mais de sens opposé à celle qu'exerce la Lune sur la Terre. Pour la calculer, il faut connaître :
La force d'attraction entre la Terre et la Lune vaut donc :
F_{A/B}=G\cdot\dfrac{M\cdot m}{r^2}
F_\text{Terre/Lune}=G\cdot\dfrac{M_\text{T}\cdot M_\text{L}}{R_\text{TL}^2}
F_\text{Terre/Lune}=6{,}67.10^{-11}\times\dfrac{5{,}97.10^{24}\times 7{,}33.10^{22}}{\left( 3{,}84.10^8 \right)^2}
F_\text{Terre/Lune}=1{,}98.10^{20} \text{ N}
Avant d'appliquer la 2e loi de Newton, il faut :
En appliquant la 2e loi de Newton, à l'objet O de masse constante, on obtient :
\sum_{}^{} \overrightarrow{F_{ext}} = m \overrightarrow{a}
m \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F_{A/O}}= G\dfrac{M \times m}{r^2} \overrightarrow{u_{N}}
\overrightarrow{a} = G\dfrac{M }{r^2} \overrightarrow{u_{N}}
Soit :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_T = \dfrac{dv}{dt} = 0 \cr \cr a_N = \dfrac{v²}{r} = G\dfrac{M }{r^2} \end{cases}
L'équation du mouvement de l'objet O en rotation autour de l'astre A permet d'affirmer que :
On veut calculer la période de révolution T_\text{T} de la Terre autour du Soleil sachant que la distance Terre-Soleil R_\text{TS} vaut 1{,}50.1\ 011 \text{ m} et que la masse du Soleil M_\text{S} vaut 2{,}00.1\ 030 \text{ kg}. En appliquant la formule, on trouve :
T=2\Pi \cdot\sqrt{\dfrac{r^3}{G\cdot M}}
T_\text{T}=2\Pi \cdot\sqrt{\dfrac{R_\text{ST}^3}{G\cdot M_\text{S}}}
T_\text{T}=2\Pi \cdot\sqrt{\dfrac{\left( 1{,}50.10^{11} \right)^3}{6{,}67.10^{-11}\times2{,}00.10^{30}}}
T_\text{T}=3{,}16.10^7 \text{s}=366 \text{ jours}
Un satellite géostationnaire est un satellite qui se déplace de manière exactement synchrone avec la planète et reste constamment au-dessus du même point de la surface.
Les satellites de télécommunication sont souvent géostationnaires, afin de rester à la verticale de la zone géographique qu'ils doivent couvrir.
La période de révolution d'un satellite géostationnaire est égale à la période de révolution de la Terre sur elle-même, soit 24 heures.
D'après l'application de la 2e loi de Newton, la période de révolution d'un satellite en orbite autour de la Terre est donnée par la relation :
T^2 = \dfrac{4 \pi^2 r^3}{G.M}
Où :
Ainsi :
T^2 = \dfrac{4 \pi^2 \left(R_\text{T} + h\right)^3}{G.M} et h =\sqrt[3]{\frac{G.M.T^2}{4 \pi^2}} - R_\text{T}
La seule altitude possible pour un satellite géostationnaire est donc :
h =\sqrt[3]{\frac{G.M.T^2}{4 \pi^2}} - R_\text{T}
h =\sqrt[3]{\frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}98 \times 10^{24} \times \left(24 \times 3\ 600\right)^2 }{4 \pi^2}} - 6\ 370 \times 10^3
h = 3{,}59 \times 10^7 \text{ m}
h = 3{,}59 \times 10^4 \text{ km}
Soit environ 36\ 000 \text{ km}.
Sur Kartable, l'élève accède à toutes les matières principales de la primaire au lycée,
y compris pour les spécialités et les options. Mathématiques, physique-chimie, SVT, sciences, français, littérature,
histoire, géographie, enseignement moral et civique, SES, philosophie, anglais, allemand et espagnol.
Inscrivez-vous
L'intégralité des cours sur Kartable est rédigée par des professeurs de l'Éducation nationale et
est conforme au programme en vigueur, incluant la réforme du lycée de l'année 2019-2020.
Choisissez votre formule
Sur Kartable, l'élève peut accéder à toutes les matières dans tous les niveaux de son choix.
Ainsi, il peut revenir sur les notions fondamentales qu'il n'aurait pas comprises
les années précédentes et se perfectionner.
Plus d'info
L'inscription gratuite donne accès à 10 contenus (cours, exercices, fiches ou quiz).
Pour débloquer l'accès illimité aux contenus, aux corrections d'exercices, mode hors-ligne et téléchargement en PDF,
il faut souscrire à l'offre Kartable Premium.
Plus d'info
L'intégralité des contenus disponibles sur Kartable est conçue par notre équipe pédagogique,
composée de près de 200 enseignants de l'Éducation nationale que nous avons sélectionnés.
Afficher plus
L'option Prof en ligne est un service de chat en ligne entre élèves et professeurs.
Notre Prof en ligne répond à toutes les questions sur les cours, exercices, méthodologie et aide au devoirs, pour toutes les classes et dans toutes les matières. Le service est ouvert du lundi au vendredi de 16h à 19h pour les membres ayant souscrit à l'option.
Choisissez votre formule
