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  4. Exercice : Calculer l'accélération dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme

Calculer l'accélération dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme Exercice

Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.

Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

On considère le mouvement de la Terre autour du Soleil. Le référentiel héliocentrique est supposé galiléen et la trajectoire de la Terre circulaire. La distance Terre - Soleil est de 150 millions de kilomètres et la vitesse de la Terre vaut 30 km.s-1.

Que valent l'accélération tangentielle et l'accélération normale de la Terre en un point de sa trajectoire autour du Soleil ?

On a dans le repère de Frenet :

\overrightarrow{a}= \overrightarrow{a}_t+ \overrightarrow{a}_n

Avec :

\overrightarrow{a}_t=\dfrac{ d v}{d t} \overrightarrow{t} et \overrightarrow{a}_n=\dfrac{ v^2}{R} \overrightarrow{n}

Ici le mouvement est circulaire uniforme donc la norme de la vitesse v est constante et \dfrac{d v}{d t}=0.

D'où :

\overrightarrow{a}_t= \overrightarrow{0}

On détermine l'accélération normale :

  • v=30 km.s-1, soit : v=30.10^3 m.s-1
  • R=150.10^6 km, soit : R=150.10^9 m

Ainsi :

a_n=\dfrac{ \left(30.10^3\right)^2}{150.10^9} =6.10^{-3} en m.s-2

\overrightarrow{a}_n=6.10^{-3} \overrightarrow{n} en m.s-2.

L'accélération de la Terre est normale et constamment dirigée vers le centre du Soleil.

On a pour l'accélération tangentielle \overrightarrow{a}_t= \overrightarrow{0} et pour l'accélération normale \overrightarrow{a}_n=6.10^{-3} \overrightarrow{n} en m.s-2.

Un train roule sur une piste circulaire de 20 km de rayon et à la vitesse de 500 km.h-1.

Que valent l'accélération tangentielle et l'accélération normale en un point de sa trajectoire ?

On a dans le repère de Frenet :

\overrightarrow{a}= \overrightarrow{a}_t+ \overrightarrow{a}_n

Avec :

\overrightarrow{a}_t=\dfrac{ d v}{d t} \overrightarrow{t} et \overrightarrow{a}_n=\dfrac{ v^2}{R} \overrightarrow{n}

Ici le mouvement est circulaire uniforme donc la norme de la vitesse v est constante et \dfrac{d v}{d t}=0.

D'où :

\overrightarrow{a}_t= \overrightarrow{0}

On détermine l'accélération normale :

  • v=500 km.h-1, on convertit : v=\dfrac{500}{3{,}6} \simeq 138{,}9 m.s-1
  • R=20 km, soit : R=20.10^3 m

Ainsi :

a_n=\dfrac{ \left(138{,}9\right)^2}{20.10^3} \simeq0{,}96 en m.s-2

\overrightarrow{a}_n=0{,}96 \overrightarrow{n} en m.s-2

L'accélération est normale et constamment dirigée vers le centre de courbure.

On a pour l'accélération tangentielle \overrightarrow{a}_t= \overrightarrow{0} et pour l'accélération normale \overrightarrow{a}_n=0{,}96 \overrightarrow{n} en m.s-2.

Un train roule sur une piste circulaire de 3000 m de rayon, le train diminue continuement sa vitesse de 1 m/s toutes les secondes.

Que valent l'accélération tangentielle et l'accélération normale en un point de sa trajectoire lorsque la vitesse du train est de 140 m/s ?

On a dans le repère de Frenet :

\overrightarrow{a}= \overrightarrow{a}_t+ \overrightarrow{a}_n

Avec :

\overrightarrow{a}_t=\dfrac{ d v}{d t} \overrightarrow{t} et \overrightarrow{a}_n=\dfrac{ v^2}{R} \overrightarrow{n}

Ici le mouvement est circulaire et uniformément décéléré donc \dfrac{d v}{d t}=-1 m.s-2.

D'où :

\overrightarrow{a}_t=- 1\overrightarrow{t} en m.s-2

On détermine l'accélération normale :

  • v=140 m.s-1
  • R=3\ 000 m

Ainsi :

a_n=\dfrac{ \left(140\right)^2}{3\ 000} \simeq 6{,}53 en m.s-2

\overrightarrow{a}_n \simeq 6{,}53 \overrightarrow{n} en m.s-2

L'accélération est dirigée vers l'intérieur de la courbure et vers l'arrière.

On a pour l'accélération tangentielle \overrightarrow{a}_t= -1\overrightarrow{t} et pour l'accélération normale \overrightarrow{a}_n \simeq 6{,}53 \overrightarrow{n} en m.s-2.

On considère le mouvement de la Lune autour de la Terre. Le référentiel géocentrique est supposé galiléen et la trajectoire de la Lune circulaire. La distance Lune - Terre est de 384 000 km et la vitesse de la Lune vaut 1 km.s-1.

Que valent l'accélération tangentielle et l'accélération normale de la Lune en un point de sa trajectoire autour de la Terre ?

On a dans le repère de Frenet :

\overrightarrow{a}= \overrightarrow{a}_t+ \overrightarrow{a}_n

Avec :

\overrightarrow{a}_t=\dfrac{ d v}{d t} \overrightarrow{t} et \overrightarrow{a}_n=\dfrac{ v^2}{R} \overrightarrow{n}

Ici le mouvement est circulaire uniforme donc la norme de la vitesse v est constante et \dfrac{d v}{d t}=0.

D'où :

\overrightarrow{a}_t= \overrightarrow{0}

On détermine l'accélération normale :

  • v=1 km.s-1, soit : v=1.10^3 m.s-1
  • R=384\ 000 km, soit : R=384.10^6 m

Ainsi :

a_n=\dfrac{ \left(1.10^3\right)^2}{384.10^6} =2{,}6.10^{-3} en m.s-2

\overrightarrow{a}_n=2{,}6.10^{-3} \overrightarrow{n} en m.s-2

L'accélération de la Lune est normale et constamment dirigée vers le centre de la Terre.

On a pour l'accélération tangentielle \overrightarrow{a}_t= \overrightarrow{0} et pour l'accélération normale \overrightarrow{a}_n=2{,}6.10^{-3} \overrightarrow{n} en m.s-2.

Une voiture roule sur une piste circulaire de 500 m de rayon, la voiture augmente continuement sa vitesse de 2 m/s toutes les secondes.

Que valent l'accélération tangentielle et l'accélération normale en un point de sa trajectoire lorsque la vitesse de la voiture est de 25 m/s ?

On a dans le repère de Frenet :

\overrightarrow{a}= \overrightarrow{a}_t+ \overrightarrow{a}_n

Avec :

\overrightarrow{a}_t=\dfrac{ d v}{d t} \overrightarrow{t} et \overrightarrow{a}_n=\dfrac{ v^2}{R} \overrightarrow{n}

Ici le mouvement est circulaire et uniformément accéléré donc \dfrac{d v}{d t}=2 m.s-2.

D'où :

\overrightarrow{a}_t=2 \overrightarrow{t} en m.s-2

On détermine l'accélération normale :

  • v=25 m.s-1
  • R=500 m

Ainsi :

a_n=\dfrac{ \left(25\right)^2}{500} =1{,}25 en m.s-2

\overrightarrow{a}_n=1{,}25 \overrightarrow{n} en m.s-2

L'accélération est dirigée vers l'intérieur de la courbure et vers l'avant.

On a pour l'accélération tangentielle \overrightarrow{a}_t= 2\overrightarrow{t} et pour l'accélération normale \overrightarrow{a}_n=1{,}25 \overrightarrow{n} en m.s-2.

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  • Cours : Applications des lois de Newton
  • Formulaire : Applications des lois de Newton
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