Soit un satellite qui tourne selon une orbite circulaire autour de la Terre à une altitude de 500 km. Le référentiel géocentrique est supposé galiléen.
Données :
- Le rayon de la Terre vaut 6370 km.
- La masse de la Terre vaut 5,97.1024 kg.
- La constante universelle de gravitation vaut 6,67.10-11 N.m2.kg-2.
Quelle est la vitesse du satellite sur son orbite ?
L'expression de l'accélération dans la base de Frenet est :
\overrightarrow{a}= \dfrac{ d v}{d t} \overrightarrow{u}_t+ \dfrac{ v^2}{r} \overrightarrow{u}_n
L'expression de la force de gravitation est :
\overrightarrow{F} = G\dfrac{m M}{r^2} \overrightarrow{u}_n
La deuxième loi de Newton donne :
\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}
Ainsi, on obtient :
G\dfrac{m M}{r^2} \overrightarrow{u}_n= m\dfrac{ d v}{d t} \overrightarrow{u}_t+ m\dfrac{ v^2}{r} \overrightarrow{u}_n
Et en projetant sur les deux directions de la base de Frenet, on obtient :
\begin{cases} G\dfrac{m M}{r^2} = m \dfrac{ v^2}{r} \cr \cr 0= \dfrac{ d v}{d t} \end{cases}
Selon la deuxième équation le mouvement est uniforme.
D'après la seconde équation : v=\sqrt{\dfrac{ G M}{r}} .
Or, on a :
r=h+R
r=500 +6\ 370 km
r=6\ 870.10^3 m
Finalement :
v=\sqrt{\dfrac{ 6{,}67.10^{-11} \times5{,}97.10^{24}}{6\ 870.10^3}}
v\simeq7{,}6 km.s-1
La vitesse vaut : v\simeq7{,}6 km.s-1.
Quelle est la période T de son orbite ?
Comme le mouvement est uniforme : v=\dfrac{2 \pi r}{T}.
D'où :
\sqrt{\dfrac{ G M}{r}}=\dfrac{2 \pi r}{T}.
Ainsi :
T =2 \pi\sqrt{\dfrac{r^3 }{G M}} (on retrouve la troisième loi de Kepler).
On effectue l'application numérique :
T =2 \pi\sqrt{\dfrac{\left(6\ 870.10^3\right)^3 }{6{,}67.10^{-11}\times 5{,}97.10^{24}}}
T= 5{,}66.10^3 s
La période de l'orbite est d'environ 5{,}66.10^3 s.