Un électron, de masse m, entre dans un condensateur plan où règne un champ électrique \overrightarrow{E} avec une vitesse initiale \overrightarrow{v_0} :
D'après la figure proposée, quelles sont les composantes du vecteur position initiale \overrightarrow{OG_0} de l'électron ?
À t = 0 s, l'électron, dont G est le centre de gravité, se trouve à l'origine du repère \left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\right).
Les composantes du vecteur position initiale \overrightarrow{OG_0} de l'électron sont donc :
\overrightarrow{OG_{0}} \begin{cases} x_{0}=0\\ \cr \cr y_{0}=0 \end{cases}\\
Les composantes du vecteur position initiale \overrightarrow{OG_0} de l'électron sont :
\overrightarrow{OG_{0}} \begin{cases} x_{0}=0\\ \cr \cr y_{0}=0 \end{cases}\\
D'après la figure, quelles sont les composantes du vecteur vitesse initiale \overrightarrow{v_0} de l'électron ?
En projetant le vecteur \overrightarrow{v_{0}} sur l'axe \overrightarrow{i}, on obtient v_{0x} = \overrightarrow{v_{0}}.\overrightarrow{i} = v_{0}.\cos\left(\alpha\right).
En projetant le vecteur \overrightarrow{v_{0}} sur l'axe \overrightarrow{j}, on obtient v_{0y} = \overrightarrow{v_{0}}.\overrightarrow{j} = -v_{0}.\sin\left(\alpha\right).
Les composantes du vecteur vitesse initiale \overrightarrow{v_{0}} sont :
\overrightarrow{v_{0}}\begin{cases} v_{0x} = v_{0}.\cos\left(\alpha\right)\\ \cr \cr v_{0y} = -v_{0}.\sin\left(\alpha\right)\\ \end{cases}\\
Les composantes du vecteur vitesse initiale \overrightarrow{v_{0}} sont :
\overrightarrow{v_{0}}\begin{cases} v_{0x} = v_{0}.\cos\left(\alpha\right)\\ \cr \cr v_{0y} = -v_{0}.\sin\left(\alpha\right)\\ \end{cases}\\
D'après la figure, quelles sont les composantes du vecteur champ électrique \overrightarrow{E} régnant dans le condensateur plan ?
Dans un condensateur plan champ électrique \overrightarrow{E} est uniforme.
\overrightarrow{E} est :
- Parallèle à l'axe \overrightarrow{j}
- Orienté vers le bas
Dans le repère \left(O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\right), les composantes du vecteur \overrightarrow{E} sont :
\overrightarrow{E}\begin{cases} E_{x} = 0\\ \cr \cr E_{y}= -E\\\ \end{cases}\\
Les composantes du vecteur \overrightarrow{E} sont :
\overrightarrow{E}\begin{cases} E_{x} = 0\\ \cr \cr E_{y}= -E\\\ \end{cases}\\
Quelles sont les composantes du vecteur accélération \overrightarrow{a}, le poids de l'électron étant négligé ?
La charge n'est soumise qu'à l'action du champ électrique qui se traduit par la force électrique :
\overrightarrow{F_e}=q.\overrightarrow{E}
Or, la charge d'un électron est :
q = -e
L'expression de la force électrique est donc :
\overrightarrow{F_e}=-e.\overrightarrow{E}
En supposant que le référentiel d'étude est galiléen, l'application de la deuxième loi de Newton permet d'obtenir l'équation du mouvement :
m.\overrightarrow{a}\left(t\right)=\overrightarrow{F_e}
{a}\left(t\right)=\dfrac{\overrightarrow{F_e}}{m}
{a}\left(t\right)=\dfrac{-e.\overrightarrow{E}}{m}\\
Or, les composantes de \overrightarrow{E} sont \overrightarrow{E}\begin{cases} E_{x} = 0\\ \cr \cr E_{y}= -E\\\ \end{cases}\\, d'où :
\overrightarrow{a}\left(t\right)\begin{cases} a_x\left(t\right)=0 \cr \cr a_y\left(t\right)=\dfrac{-e\times\left(-E\right)}{m} \end{cases}
{a}\left(t\right)\begin{cases} a_x\left(t\right)=0 \cr \cr a_y\left(t\right)=\dfrac{e.E}{m} \end{cases}
Les composantes du vecteur accélération \overrightarrow{a} sont : \overrightarrow{a}\left(t\right)\begin{cases} a_x\left(t\right)=0 \cr \cr a_y\left(t\right)=\dfrac{e.E}{m} \end{cases}
Quelles sont les composantes du vecteur vitesse \overrightarrow{v} de l'électron ?
On sait que \dfrac{dv\left(t\right)}{d_t}=\overrightarrow{a}\left(t\right), pour obtenir les composantes du vecteur vitesse, il faut intégrer les composantes du vecteur accélération qui sont :
{a}\left(t\right)\begin{cases} a_x\left(t\right)=0 \cr \cr a_y\left(t\right)=\dfrac{e.E}{m} \end{cases}
On obtient alors :
\overrightarrow{v}\left(t\right)\begin{cases} v_x\left(t\right)=v_{0x} \cr \cr v_y\left(t\right)=\dfrac{e.E}{m}.t +v_{0y}\end{cases}
Les constantes d'intégration correspondent aux composantes du vecteur vitesse pour t = 0 qui sont :
\overrightarrow{v_{0}}\begin{cases} v_{0x} = v_{0}.\cos\left(\alpha\right)\\ \cr \cr v_{0y} = -v_{0}.\sin\left(\alpha\right)\\ \end{cases}\\
On en déduit :
\overrightarrow{v}\left(t\right)\begin{cases} v_x\left(t\right)=v_0.\cos\left(\alpha\right) \cr \cr v_y\left(t\right)=\dfrac{e.E}{m}.t -v_0.\sin\left(\alpha\right)\end{cases}
Les composantes du vecteur vitesse \overrightarrow{v} de l'électron sont :
\overrightarrow{v}\left(t\right)\begin{cases} v_x\left(t\right)=v_0.\cos\left(\alpha\right) \cr \cr v_y\left(t\right)=\dfrac{e.E}{m}.t -v_0.\sin\left(\alpha\right)\end{cases}
Quelles sont les composantes du vecteur position \overrightarrow{OG} de l'électron ?
On sait que \dfrac{d_{OG}\left(t\right)}{d_t}=\overrightarrow{v}\left(t\right), pour obtenir les composantes du vecteur position, il faut intégrer les composantes du vecteur vitesse qui sont :
\overrightarrow{v}\left(t\right)\begin{cases} v_x\left(t\right)=v_0.\cos\left(\alpha\right) \cr \cr v_y\left(t\right)=\dfrac{e.E}{m}.t -v_0.\sin\left(\alpha\right)\end{cases}
On obtient alors :
\overrightarrow{OG}\left(t\right)\begin{cases} x\left(t\right)=v_o.\cos\left(\alpha\right).t+x_0 \cr \cr y\left(t\right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{e.E}{m}.t^{2} -v_o.\sin\left(\alpha\right).t+y_0\end{cases}
Les constantes d'intégration correspondent aux composantes du vecteur position pour t = 0 qui sont :
\overrightarrow{OG_{0}} \begin{cases} x_{0}=0\\ \cr \cr y_{0}=0 \end{cases}\\
On en déduit :
\overrightarrow{OG}\left(t\right)\begin{cases} x\left(t\right)=v_o.\cos\left(\alpha\right).t \cr \cr y\left(t\right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{e.E}{m}.t^{2} -v_o.\sin\left(\alpha\right).t\end{cases}
Les composantes du vecteur position \overrightarrow{OG} de l'électron sont :
{OG}\left(t\right)\begin{cases} x\left(t\right)=v_o.\cos\left(\alpha\right).t \cr \cr y\left(t\right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{e.E}{m}.t^{2} -v_o.\sin\left(\alpha\right).t\end{cases}
En déduire l'équation de la trajectoire de l'électron dans le condensateur plan.
Quelle est sa nature ?
En reportant dans l'équation y(t) le temps exprimé en fonction de x grâce à l'équation x(t), on obtient l'équation de la trajectoire y(x).
À l'aide de l'équation horaire x(t) :
x\left(t\right)=v_o.\cos\left(\alpha\right).t
On obtient :
t= \dfrac{x}{v_0.cos\left(\alpha\right)}
En substituant la variable t dans l'équation horaire y(t), on obtient :
y\left(x\right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{e.E}{m}.\dfrac{x}{v_0.\cos\left( \alpha\right)}^{2} -v_o.\sin\left(\alpha\right).\dfrac{x}{\cos\left(\alpha\right)}
y\left(x\right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{e.E}{m}.\left(\dfrac{x}{v_0.\cos\left( \alpha\right)}\right)^{2} -v_o.\tan\left(\alpha\right).x
On remarque que l'équation de cette trajectoire est du type :
y\left(x\right) = Ax^2 + Bx +C
Il s'agit donc d'une parabole.
L'équation de la trajectoire de l'électron dans le condensateur plan est :
y\left(x\right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{e.E}{m}.\left(\dfrac{x}{v_0.\cos\left( \alpha\right)}\right)^{2} -v_o.\tan\left(\alpha\right).x
La nature de cette trajectoire est une parabole.