Ondes mécaniquesCours

I

Propagation d'une onde mécanique progressive

A

Notion d'onde mécanique progressive

Lorsqu'un caillou ou une goutte tombe dans une étendue d'eau, il se produit une déformation à l'endroit de l'impact qui se propage à la surface de l'eau sous forme de rides circulaires concentriques, mettant en évidence la propagation d'une onde mécanique progressive.

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Onde mécanique progressive

Une onde mécanique progressive est une perturbation qui se propage dans un milieu, avec transport d'énergie mais sans transport de matière.

Lorsque la perturbation se propage à la surface de l'eau, les molécules d'eau se soulèvent mais ne se déplacent pas avec elle (comme l'illustre ce flotteur) : il y a un transfert d'énergie de proche en proche mais pas de transport de matière.

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Les points du milieu dans lequel se propage l'onde ont un mouvement d'oscillation : ils se déplacent par rapport à leur position initiale dont ils s'écartent d'une distance appelée amplitude.

L'amplitude est la longueur maximale dont s'écarte le flotteur précédent au cours de son mouvement.

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Contrairement aux ondes électromagnétiques ou lumineuses, qui peuvent se propager dans le vide, les ondes mécaniques progressives ont besoin d'un milieu matériel pour se propager.

  • Les ondes sismiques se propagent à l'intérieur de la Terre.
  • La houle se propage dans l'eau.

À l'aide de capteurs adaptés, il est possible d'obtenir des signaux électriques représentant les allures temporelles des ondes, utilisées dans la suite du cours.

B

Les ondes sinusoïdales

Certains phénomènes créent des ondes sinusoïdales.

Onde sinusoïdale

Une onde sinusoïdale est une onde périodique progressive décrite par une fonction sinusoïdale du temps. 

Exemple d'onde sinusoïdale
Exemple d'onde sinusoïdale

Les ondes sinusoïdales sont assez rares mais on peut montrer que toute onde périodique peut être décrite comme une somme d'ondes sinusoïdales, d'où leur intérêt.

Une onde d'allure carrée peut être obtenue en additionnant plusieurs ondes sinusoïdales avec des amplitudes bien précises.

Addition de plusieurs ondes sinusoïdales

Addition de plusieurs ondes sinusoïdales

C

Les ondes longitudinales et transversales 

On distingue deux types d'ondes mécaniques progressives, selon la direction dans laquelle se propage l'onde par rapport à celle de la perturbation transmise de proche en proche.

Onde mécanique progressive 

Une onde mécanique progressive est dite :

  • longitudinale si la perturbation se produit dans une direction parallèle à celle de la propagation de l'onde ;
  • transversale si la perturbation se produit dans une direction perpendiculaire à celle de la propagation de l'onde.
Onde longitudinale
Onde longitudinale
Onde transversale
Onde transversale
D

Le retard entre deux points

Une onde mécanique progressive se propageant à une vitesse finie, elle met un certain temps pour aller d'un point du milieu dans lequel elle se propage à un autre.

Retard

Le retard  \tau  est la durée mise par une onde progressive pour atteindre un point M_2 à partir d'un point M_1.

Si on note t1 l'instant où l'onde atteint le point M_1 et t_2 celui où l'atteint le point M_2, l'expression du retard est :

\tau = t_2 – t_1

Retard d'une onde
Retard d'une onde
E

La célérité

On désigne par célérité la vitesse de propagation d'une onde.

Célérité d'une onde

La célérité d'une onde est sa vitesse de propagation. Elle dépend du milieu traversé par l'onde.

  • La célérité du son dans l'air est de 340 m.s−1 et elle est plus importante dans les milieux plus denses. 
  • La célérité des ondes sismiques varie entre 1 000 et 5 000 m·s–1 selon les roches qu'elles traversent.

La célérité d'une onde mécanique progressive peut se calculer à partir de la distance d qui sépare deux points du milieu de propagation et le retard \tau écoulé pour que l'onde se propage d'un point à l'autre : 

c_{\text{(m.s}^{–1})} = \dfrac{d_{(m)}}{ \tau_{(s)} }

Il est possible de mesurer la célérité des ultrasons en mesurant le retard \tau entre les réceptions d'une salve ultrasonore par deux récepteurs éloignés par une distance d.

On place deux récepteurs face à un émetteur d'ultrasons mais séparés par une distance d.

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On visualise les signaux reçus par les deux récepteurs, à l'aide d'un oscilloscope ou d'un dispositif d'acquisition connecté à un ordinateur.

-

On détermine le retard  \tau entre la réception des ondes ultrasonores par les deux récepteurs.

Ici, le retard est :

\tau = 1,25 – 1,00 = 0,25 \text{ s}  

À partir de la distance d séparant les deux récepteurs et le retard \tau entre la réception des ondes ultrasonores, on en déduit la célérité des ondes ultrasonores :

c = \dfrac{d}{\tau}

c = \dfrac{0,85}{0,25}

c = 3,4 \times 10^2 m.s−1

II

Caractéristiques d'une onde mécanique périodique

A

La périodicité temporelle

Lorsqu'une onde mécanique périodique se propage dans un milieu, les points qui composent ce milieu se retrouvent dans le même état vibratoire à intervalle de temps régulier : on dit qu'elle présente une périodicité temporelle.

Période temporelle

La période temporelle T d'une onde progressive périodique est la durée la plus courte au bout de laquelle un point du milieu de propagation se retrouve dans le même état vibratoire. Son unité légale est la seconde (s).

Dans une représentation temporelle de l'onde, la période T correspond à la durée du motif élémentaire qui se répète, ce qui permet de la mesurer.

Période temporelle

Période temporelle

Pour gagner en précision, il est préférable de déterminer la période d'une onde à partir d'une durée correspondant à plusieurs périodes plutôt qu'à une seule.

-

Ici, on mesure la durée qui correspond à 3 périodes :

3T = 0,50 – 0,10 = 0,40 \text{ ms}  

La période de cette onde est donc :

T = \dfrac{0,40}{3}

T = 0,13 \text{ ms}  

La fréquence de l'onde correspond au nombre de périodes temporelles contenues dans une seconde.

Fréquence temporelle F

La fréquence temporelle F, exprimée en hertz (Hz), est l'inverse de la période temporelle T, exprimée en secondes (s) :

F_{(Hz)} = \dfrac{1}{T_{(s)}}

La fréquence d'une onde de période T = 0,13\text{ ms} est :

F = \dfrac{1}{ T }

F = \dfrac{1}{0,13 \times 10{–3}}

F = 7,7 \times 10^{3} \text{ Hz}  

B

La périodicité spatiale

Lorsqu'une onde mécanique périodique se propage dans un milieu, à chaque instant, les points qui se retrouvent dans le même état vibratoire sont espacés par la même distance : on dit que l'onde présente une périodicité spatiale.

Longueur d'onde

La longueur d'onde (ou période spatiale) \lambda est la distance la plus courte qui sépare deux points dans le même état vibratoire à un instant t. On dit que ces deux points vibrent en phase.

Longueur d'onde  \(\displaystyle{\lambda}\)
Longueur d'onde  \lambda

La longueur d'onde \lambda peut être mesurée sur une figure représentant la propagation de l'onde, à un instant donné. 

Dans une cuve à ondes, un vibreur génère une onde à la surface de l'eau, une source lumineuse permet de mettre en évidence les points dans le même état vibratoire, par contraste.

Cuve à ondes

Cuve à ondes

Pour gagner en précision, il est préférable de déterminer la longueur d'onde \lambda   à partir d'une longueur correspondant à plusieurs longueurs d'onde plutôt qu'à une seule.

C

Relation entre la période, la longueur d'onde et la célérité

La célérité d'une onde est liée à ses grandeurs caractéristiques : période, fréquence et longueur d'onde.

c_{(\text{m.s}^{–1})} = \dfrac{\lambda_{(\text{m})} }{T_{(\text{s})} } = \lambda_{(\text{m})} \times F_{(\text{Hz})}

La célérité d'une onde ultrasonore de fréquence 40 kHz et de longueur d'onde 8,5 mm est :

c = \lambda \times F

c = 8,5 \times 10{–3} \times 40 \times 10{3}

c = 3,4 \times 10{2} \text{ m.s}^{–1}  

III

Récapitulatif

Onde mécanique progressive

Perturbation qui se propage dans un milieu, avec transport d'énergie mais sans transport de matière.

Ne peut donc pas se propager dans le vide, contrairement aux ondes électromagnétiques (ou lumineuses).

Onde sinusoïdale Onde périodique progressive décrite par une fonction sinusoïdale du temps.

Onde longitudinale

Onde pour laquelle la perturbation se produit dans une direction parallèle à celle de la propagation de l'onde.

Onde transversale

Onde pour laquelle la perturbation se produit dans une direction perpendiculaire à celle de la propagation de l'onde.

Retard entre deux points \tau

Durée mise par une onde progressive pour atteindre un point \text{M_2}à partir d'un point M_1 :

\tau = t_2 – t_1

Célérité c

Vitesse de propagation d'une onde, elle dépend du milieu traversé.

Peut se calculer à partir de la distance d qui sépare deux points du milieu de propagation et le retard écoulé pour que l'onde se propage d'un point à l'autre : 

c_{(\text{m.s)}^{–1}} = \dfrac{d_{(\text{m})}}{ \tau_{(\text{s})} }

Période T

Durée la plus courte au bout de laquelle un point du milieu de propagation se retrouve dans le même état vibratoire, s'exprime en secondes (s).

Fréquence F

Inverse de la période temporelle T, en secondes (s), s'exprime en hertz (Hz) :

F_{(\text{Hz})} = \dfrac{1}{T_{(\text{s})}}

Longueur d'onde \lambda

Distance la plus courte qui sépare deux points dans le même état vibratoire à un instant donné.

Relation entre la période, la longueur d'onde et la célérité

c_{(\text{m.s)}^{–1}}  = \dfrac{\lambda_{(\text{m})} }{T_{(\text{s})} } = \lambda_{(\text{m})} \times F_{(\text{Hz})}