La défibrillation est une méthode utilisée afin de régulariser le rythme cardiaque. Elle consiste à appliquer un « choc électrique » très bref au cœur du patient. Un défibrillateur interne est un petit boîtier qui est implanté dans le thorax du patient. Ce boîtier comporte trois éléments fondamentaux :
- une pile au lithium permettant l'apport d'énergie nécessaire au fonctionnement du dispositif. Cette pile délivre une tension à vide U_g = 3{,}0 \text{ V} ;
- des circuits électroniques permettant, entre autres choses, d'analyser le rythme cardiaque du patient, de reconnaître des troubles et de déclencher un choc en cas de nécessité ;
- des condensateurs qui permettent de stocker l'énergie qui sera délivrée lors d'un choc ;
- des électrodes qui relient le dispositif au cœur du patient.
Le défibrillateur peut être modélisé par le circuit ci-dessous.
Le fonctionnement du défibrillateur se décompose en deux phases :
- dans la première phase, l'interrupteur K1 est fermé pendant que K2 est ouvert ; au début de cette phase, pris comme origine des temps, le condensateur est déchargé ;
- dans la seconde phase, l'interrupteur K2 est fermé pendant que K1 est ouvert ; c'est dans cette phase que le choc a lieu. La résistance r modélise le comportement électrique du cœur.
Les quatre graphiques suivants représentent des évolutions possibles de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps.
Quel graphique correspond à la première phase de fonctionnement ?
On sait que :
- la flèche de la tension u_C est opposée à la flèche intensité : la convention récepteur est respectée et la tension u_C est donc positive ;
- au début de la première phase le condensateur est déchargé : il commence à se charger et la tension u_C augmente.
On en déduit que le graphique correct est le suivant :
À l'issue de la première phase, la charge du condensateur étant terminée, on passe à la deuxième phase de fonctionnement.
Quelle est l'équation différentielle vérifiée par la tension u_C(t) lors de cette seconde phase ?
D'après la loi d'additivité des tensions, on a :
u_{\text{R}}+u_{\text{C}}=0
La tension aux bornes de la résistance s'obtient avec la loi d'Ohm :
u_R = r \times i
D'où :
r\times i +u_{\text{C}}=0
Or, l'expression de l'intensité circulant dans le circuit est :
i= C \times\dfrac{du_C}{dt}
D'où :
r \times i+u_{\text{C}}=0 \Leftrightarrow r \times C \times \dfrac{du_C}{dt}+u_{\text{C}}=0
Que l'on peut mettre en forme ainsi :
\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{u_{C(t)}}{r\times C} = 0
À la date t_1 l'interrupteur K2 est fermé. Vérifier que la solution de cette équation différentielle peut s'écrire sous la forme :
u_C(t) = A \times \exp(\dfrac{-(t-t_1)}{\tau})
Dans quelle proposition exprime-t-on correctement le temps caractéristique \tau en fonction de r et C et calcule-t-on sa valeur ?
Si u_C(t) = A \times \exp(\dfrac{-(t-t_1)}{\tau}) est solution de l'équation différentielle, alors on doit vérifier l'égalité :
\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{u_{C(t)}}{r\times C} = 0
Or, cette expression de u_C(t) donne :
\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{u_{C(t)}}{r\times C} = -\dfrac{A}{\tau}\times \exp(\dfrac{-(t-t_1)}{\tau}) +\dfrac{1}{r\times C} \times A \times \exp(\dfrac{-(t-t_1)}{\tau})
Cette relation est égale à 0 à condition que \tau = r \times C.
D'où :
\tau = r \times C
\tau = 10 \times 50.10^{-6}
\tau = 5{,}0.10^{-4} \text{ s}
Quelle est la valeur du paramètre A sachant qu'à l'instant t = t_1, la tension aux bornes du condensateur u_C(t_1) vaut 800 V ?
À l'instant t = t_1, on a donc :
u_C(t_1) = A \times \exp(\dfrac{-(t_1-t_1)}{\tau}) = 800 \text{ V}
Soit :
u_C(t_1) = A \times \exp(0) = A \times 1=800 \text{ V}
D'où :
A =800 \text{ V}
Quelle est la durée approximative du « choc électrique » et quel commentaire peut-on en faire ?
On peut considérer que le condensateur est déchargé, et donc que le choc électrique est terminé, au bout d'une durée t = 5 \times \tau, soit :
t = 5 \times 5{,}0.10^{-4}
t = 2{,}5.10^{-3} \text{ s}
Cette durée, très courte, est cohérente avec l'énoncé qui indique que le choc est très bref.
Quel graphique représente correctement l'allure de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps lors d'un cycle complet charge-décharge du condensateur ?
On sait que la tension u_C aux bornes du condensateur :
- augmente pendant la charge ;
- diminue pendant la décharge.
On en déduit que le graphique correct est le suivant :
