On se propose d'étudier le fonctionnement d'un capteur de déplacement capacitif fonctionnant dans un circuit RC. Le condensateur, initialement déchargé, est en charge.
La mise en place du capteur de déplacement capacitif est comme suit :
Quelle équation différentielle vérifie la tension aux bornes du condensateur ?
D'après la loi d'additivité des tensions, on a :
u_{\text{résistance}}+u_{\text{condensateur}}=u_{\text{générateur}}
Soit avec les notations adoptées :
u_{\text{R}}+u_{\text{C}}=E
La tension aux bornes de la résistance s'obtient avec la loi d'Ohm :
u_R = R \times i
D'où :
R \times i +u_{\text{C}}=ER×i+uC=E
Or, l'intensité du courant électrique ii dans le circuit dépend de la tension du condensateur u_C car i= \dfrac{dq}{dt} et q =C \times u_C.
L'expression de i en fonction de u_C est donc :
i= \dfrac{dq}{dt} \Leftrightarrow i= \dfrac{d(C\times u_C)}{dt} \Leftrightarrow i= \dfrac{dC}{dt}\times u_C + C \times\dfrac{du_C}{dt}
La capacité C du condensateur étant une constante :
\dfrac{dC}{dt} =0
Et finalement :
i= C \times\dfrac{du_C}{dt}
D'où :
R \times i+u_{\text{C}}=E \Leftrightarrow R \times C \times \dfrac{du_C}{dt}+u_{\text{C}}=E
L'équation différentielle que vérifie la tension aux bornes du condensateur est donc :
\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{u_{C(t)}}{R\times C} = \dfrac{E}{R\times C}
Quelle est alors la tension aux bornes du condensateur ?
La tension aux bornes du condensateur vérifie l'équation différentielle de premier ordre suivante :
\dfrac{du_{C(t)}}{dt} + \dfrac{u_{C(t)}}{R\times C} = \dfrac{E}{R\times C}
La solution de cette équation différentielle est :
u_{C}(t) = A \times e^{-\dfrac{t}{R\times C}} + B
Où A et B sont des constantes dépendant du comportement du circuit RC.
Ici, on sait que :
À t = 0, \text{ s}t=0 s, u_C= 0 \text{ V}.
D'où :
u_{C}(0) = A \times e^{-\dfrac{0}{R\times C}} + B = A + B = 0 \text{ V}
Donc :
A = - B
Pour :
t\longmapsto \infty , u_C \longmapsto E
D'où :
u_{C}(t \longmapsto \infty) = A \times e^{-\dfrac{\infty}{R\times C}} + B = A \times 0 +B = E
Donc :
B = E et A = -E
Finalement :
u_{C}(t) = -E \times e^{-\dfrac{t}{R\times C}} + E
Pendant la charge du condensateur, l'expression de la tension entre ses bornes est donc :
u_{C}(t) = E \times \left(1-e^{-\dfrac{t}{R\times C}} \right)
On dispose d'une courbe reliant la capacité aux bornes du condensateur à la distance qui sépare ses deux armatures :
On constate que le condensateur est pratiquement chargé au bout d'une durée t_{\text{charge}} = 278{,}875 \text{ ns}.
Quelle est alors la distance entre les armatures ?
Donnée : résistance R = 23 \text{ k}\Omega.
Un condensateur est pratiquement chargé au bout d'un temps égal à 5 fois son temps caractéristique.
On sait que dans un circuit RC, \tau = RC, donc on a :
5\tau = 5 \times RC = t_{\text{charge}}
Soit :
C = \dfrac{t_{\text{charge}}}{5R} = 2{,}425 \text{ pF}
Par lecture graphique, on en déduit la valeur de la distance d entre les armatures correspondante :
La distance séparant les armatures du condensateur est donc d = 57 \text{ µm}.
On laisse le condensateur se décharger dans le circuit, les armatures subissent alors un nouveau déplacement puis le condensateur subit une charge qui dure t_{c} = 277{,}15 \text{ ns}.
Quelle est la nature de ce déplacement ?
Un condensateur est pratiquement chargé au bout d'un temps égal à 5 fois son temps caractéristique.
On sait que dans un circuit RC, \tau = RC, donc on a :
5\tau = 5 \times RC = t_{\text{charge}}
Soit :
C = \dfrac{t_{\text{charge}}}{5R} = 2{,}41 \text{ pF}
Par lecture graphique, on en déduit la valeur de la distance d entre les armatures correspondante :
La distance entre les armatures est donc devenue d = 28 \text{ µm}, les armatures ont été rapprochées.