Un professeur de physique est accusé d'avoir grillé un feu rouge et écope d'une amende. Il décide de contester cette décision en invoquant qu'un phénomène physique lui a fait voir ce feu vert : le blueshift.
Données :
- longueur d'onde d'un feu rouge : \lambda_R = 680 \text{ nm} ;
- longueur d'onde d'un feu vert : \lambda_V = 520 \text{ nm} ;
- célérité de la lumière dans le vide : c = 3{,}00 \times 10^8 \text{ m}.\text{s}^{-1}.
D'après la définition du redshift, quelle est la définition du blueshift ?
En astronomie, l'effet Doppler que subissent les ondes électromagnétiques permet de mesurer la vitesse des astres : les longueurs d'onde des raies caractéristiques des éléments chimiques subissent un décalage \Delta \lambda en fonction de la vitesse relative de l'astre émetteur par rapport à la Terre. Si cette vitesse est négative (c'est-à-dire que l'astre se rapproche de la Terre), alors la longueur d'onde observée sera plus petite que la longueur d'onde réelle (\Delta \lambda négatif). Les longueurs d'onde des raies se déplacent ainsi vers le bleu, c'est pourquoi on parle alors de blueshift.
La couleur d'une source subit un décalage \Delta \lambda négatif en fonction de sa vitesse relative par rapport à l'observateur.
L'expression de la fréquence reçue F_R en fonction de la la fréquence de l'onde émise F_E, de la célérité de l'onde émise c et de la vitesse v de l'observateur est :
F_R = \dfrac{1}{1 - \dfrac{v }{c} }\times F_E
Quelle est alors la formule de l'effet Doppler pour une source se rapprochant du récepteur en fonction de la longueur d'onde ?
On sait que :
c = \lambda \times F
Et donc que :
F = \dfrac{c}{\lambda}
Ainsi, la relation F_R = \dfrac{1}{1 - \dfrac{v }{c} }\times F_E peut aussi s'écrire :
\dfrac{c}{\lambda_R} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{v }{c} }\times \dfrac{c}{\lambda_E}
Soit :
\dfrac{\lambda_R} {c}= (1 - \dfrac{v}{c} )\times \dfrac{\lambda_E}{c}
D'où :
{\lambda_R} = (1 - \dfrac{v }{c} )\times {\lambda_E}
Et finalement :
\dfrac{ \lambda_R - \lambda_E}{\lambda_E} = - \dfrac{v}{c}
La relation entre longueurs d'onde traduisant le blueshift est donc : \dfrac{ \lambda_R - \lambda_E}{\lambda_E} = - \dfrac{v}{c}.
Si le professeur dit vrai, quelle était sa vitesse réelle ?
On sait que :
\dfrac{ \lambda_R - \lambda_E}{\lambda_E} = - \dfrac{v}{c}
On en déduit l'expression de la vitesse de l'observateur :
{v} = -\dfrac{ \lambda_R - \lambda_E}{\lambda_E} \times c
Dans le cas présent :
- v_E est la vitesse du véhicule que l'on cherche à calculer ;
- \lambda est la longueur d'onde émise par le feu, donc celle de la couleur rouge ;
- \lambda_R est la longueur d'onde prétendument reçue par le conducteur, c'est-à-dire celle du vert.
Ainsi :
v = -\dfrac{520 \times 10^{-9} - 680 \times 10^{-9}}{680 \times 10^{-9}} \times 3{,}00 \times 10^8
Soit :
v =7{,}1.10^7 \text{ m}.\text{s}^{-1}
Pour que le phénomène de blueshift soit responsable du changement de couleur, il faudrait que la vitesse réelle du professeur soit v =7{,}06.10^7 \text{ m}.\text{s}^{-1}, ce qui ne semble pas possible !