L'intensité sonore et l'effet DopplerCours

L'intensité d'une onde sonore correspond à l'énergie transportée par cette onde. En pratique, on utilise plutôt le niveau d'intensité sonore dont l'échelle de valeurs, en décibels, est plus simple. L'intensité et le niveau d'intensité sonores s'atténuent au fur et à mesure qu'on s'éloigne de la source, mais aussi lorsque le son rencontre un obstacle. L'effet Doppler est la modification de la fréquence, de la période et de la longueur d'onde d'une onde. La modification de la fréquence se produit lorsque la source émettrice et le récepteur sont en mouvement relatif. L'effet Doppler permet de déterminer la vitesse relative d'un émetteur ou d'un récepteur.

I

L'intensité sonore

L'intensité sonore I d'une onde sonore s'exprime comme un niveau d'intensité sonore L. L'intensité d'un son s'atténue au fur et à mesure que l'onde sonore s'éloigne de la source ou lorsque le son rencontre un obstacle.

A

La relation entre l'intensité sonore et le niveau d'intensité sonore

L'intensité sonore I d'une onde sonore correspond à l'énergie transportée par cette onde, par unité de surface et par unité de temps. En pratique, on utilise plutôt le niveau d'intensité sonore L, qui s'exprime en décibels et dont l'échelle est plus simple.

Intensité sonore

L'intensité sonore, notée I, d'une onde sonore correspond à l'énergie transportée par cette onde par unité de surface et par unité de temps. Elle s'exprime en watts par mètre carré (\text{W.m}^{-2}). Il s'agit donc d'une puissance par mètre carré.

Si une surface de 1 \text{ m}^2 reçoit une puissance sonore de 1 \text{ mW}, l'intensité sonore correspondante est de 1 \text{ mW.m}^{-2}, soit 10^{-3} \text{ W.m}^{-2}.

L'oreille humaine étant sensible à une gamme d'intensité sonore très grande, on utilise la notion de niveau sonore pour comparer l'intensité de deux sons.

Relation donnant le niveau sonore à partir de l'intensité sonore

Le niveau sonore L, qui s'exprime en décibels (\text{dB}) est lié à l'intensité sonore I par la relation suivante :

L = 10 \times \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)

Avec :

  • L le niveau sonore (en \text{dB}) ;
  • I l'intensité acoustique de l'onde sonore (en \text{W.m}^{-2}) ;
  • I_0 le seuil d'audibilité fixé à 10^{−12} \text{ W.m}^{−2}.

Le niveau sonore d'un son d'intensité sonore 10^{−7} \text{ W.m}^{−2} est :
L = 10 \times \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)  
L = 10 \times \log\left(\dfrac{10^{−7}}{10^{−12}}\right)  
L = 50 \text{ dB}

On peut aussi exprimer l'intensité sonore d'un son à partir de son niveau d'intensité sonore, la fonction réciproque au logarithme étant la puissance de 10 :

a=\log(b) \: \Leftrightarrow \: 10^{a}=b

Par définition, le logarithme décimal d'un nombre a est le quotient du logarithme népérien de a par le logarithme népérien de 10 :

\log(a)=\dfrac{\ln(a)}{\ln(10)}

Relation donnant l'intensité sonore à partir du niveau sonore

L'intensité sonore I d'un son peut être déterminée à partir de son niveau d'intensité sonore L à l'aide de la relation suivante :

I = I_0 \times 10^{\frac{L}{10}}

Avec : 

  • L le niveau sonore (en \text{dB}) ;
  • I l'intensité acoustique de l'onde sonore (en \text{W.m}^{-2}) ;
  • I_0 le seuil d'audibilité fixé à 10^{−12} \text{ W.m}^{−2}.

L'intensité sonore d'un de niveau sonore 60 \text{ dB} est :
I = I_0 \times 10^{\frac{L}{10}}
I = 10^{-12} \times 10^{\frac{60}{10}}
I=10^{-6} \text{ W.m}^{-2}

L'exposition à des ondes sonores peut comporter des risques pour notre santé : elle peut provoquer une perte d'audition temporaire ou durable. Ces risques augmentent avec l'intensité sonore et la durée d'exposition.

exposition ondes sonores risques danger

Dangerosité des sons

L'utilisation prolongée d'écouteurs est risquée. Les normes européennes limitent leur niveau sonore à 100 \text{ dB} et obligent une validation par l'utilisateur dès lors qu'il dépasse 85 \text{ dB}.

B

L'atténuation d'un son

L'intensité et le niveau d'intensité sonores s'atténuent de manière géométrique. Cette atténuation se produit au fur et à mesure que le son s'éloigne de la source. L'intensité sonore s'atténue aussi lorsque le son rencontre un obstacle qui absorbe une partie de son énergie.

1

L'atténuation géométrique d'un son

L'intensité et le niveau d'intensité sonores sont atténués lorsque la distance entre la source sonore et le récepteur augmente. Lorsque la distance entre une source sonore ponctuelle et un récepteur est multipliée par deux, le niveau d'intensité sonore est diminué de 6\text{ dB}.

Lorsque la distance qui sépare un récepteur sonore d'une source sonore ponctuelle est multipliée par deux, l'intensité sonore reçue est divisée par 4 et le niveau sonore reçu est diminué de 6 \text{ dB}.

atténuation géométrique son
Impact d'un changement de distance à la source sur l'intensité et le niveau d'intensité sonore 

Beaucoup d'enceintes nomades se vantent d'émettre un son « à 360° », permettant une écoute dans une large zone autour d'elles. Ces enceintes peuvent être alors considérées comme des sources sonores ponctuelles. Si, à une distance d'un mètre d'une de ces enceintes, une personne reçoit un son de niveau sonore L_1 = 88 \text{ dB}, en reculant pour être maintenant éloignée d'une distance double, soit 2 mètres, le niveau sonore qu'elle recevra sera :
L_2 = L_1 - 6
L_2 = 88 - 6
L_2 = 82 \text{ dB}

Le logarithme décimal d'un produit a \times b est égal à la somme des logarithme décimaux de a et de b :

\log(a\times b) = \log(a) + \log(b)

\log(4 \times I) = \log(4) + \log(I)

Le logarithme décimal d'un quotient \dfrac{a}{b} est égal à la différence des logarithme décimaux de a et de b :

\log\left(\dfrac{a}{b}\right) = \log(a) - \log(b)

\log(\dfrac{I}{4}) = \log(I) - \log(4)

Le logarithme décimal d'une puissance a^n est égal à la multiplication de la puissance avec le logarithme décimal de a :

\log(a^n) = n\times \log(a)

\log\left(2^2\right)=2\times \log(2)

À une distance d d'une source sonore ponctuelle, la puissance sonore que celle-ci émet se répartit sur une sphère de rayon d.

La surface de cette sphère est S = 4 \pi d^2.

Ainsi, lorsque la distance d qui sépare le récepteur de la source est doublée, la surface de la sphère devient :
S' = 4 \pi (2d)^2 = 4 \times 4 \pi d^2 = 4 \times S

variation intensité sonore niveau intensité sonore source ponctuelle
Variation de l'intensité sonore et du niveau d'intensité sonore d'une source ponctuelle

L'intensité sonore étant le rapport de la puissance émise par la surface, lorsque la surface de la sphère est multipliée par 4, l'intensité sonore est divisée par 4, soit : 
I' = \dfrac{P_{\text{émise}}}{S'} = \dfrac{P_{\text{émise}}}{4 \times S} = \dfrac{I}{4}

Donc le niveau sonore correspondant est :
L' = 10 \times \log\left(\dfrac{I'}{I_0}\right)  
L' = 10 \times \log\left(\dfrac{I}{4 \times I_0}\right)  
L' = 10 \times \left( \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right) - \text{log}( 4)\right)
L' = 10 \times \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right) - 10 \times \text{log}( 4)
L' = 10 \times \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right) - 10 \times \text{log}(2^2)
L' = 10 \times \log\left(\dfrac{I}{I_0}\right) - 10 \times 2 \times \text{log}(2)

Or \log(2)\approx 0{,}3 et on obtient :
L' = L - 6 \text{ dB}

Si la source sonore n'est pas ponctuelle mais linéaire et émet le son dans une seule direction, à chaque doublement de distance l'intensité sonore reçue est divisée par 2 et le niveau sonore reçu est diminué de 3 \text{ dB}.

variation intensité niveau d'intensité sonore source linéaire
Variation d'intensité et de niveau d'intensité sonore d'une source linéaire 

Des haut-parleurs de chaîne hi-fi peuvent être considérés comme des sources sonores linéaires, puisqu'ils émettent le son dans une seule direction. Si, à une distance d'un mètre d'une de ces haut-parleurs, une personne reçoit un son de niveau sonore L_1 = 88 \text{ dB}, en reculant pour être maintenant éloignée d'une distance double, soit 2 m, le niveau sonore qu'elle recevra sera :
L_2 = L_1 - 3
L_2 = 88 - 3
L_2 = 85 \text{ dB}

2

L'atténuation par absorption d'un son

L'intensité et le niveau d'intensité sonores sont atténués lorsque le son rencontre un obstacle. L'obstacle absorbe une partie de l'énergie de l'onde sonore. Cette atténuation est d'autant plus grande que le coefficient d'absorption d'un matériau est élevé.

Lorsqu'un son rencontre un obstacle, son intensité sonore est atténuée car une partie de son énergie est absorbée. La proportion d'énergie absorbée dépend du matériau composant l'obstacle et de l'épaisseur de celui-ci.

atténuation son absorption
Atténuation d'un son

Ainsi, l'intensité sonore transmise I_t est toujours plus faible que l'intensité sonore incidente I_i. L'intensité sonore qui n'est pas transmise peut être absorbée par l'obstacle ou réfléchie.

À épaisseur égale, un obstacle en moquette absorbe deux fois plus d'énergie sonore qu'un obstacle en bois massif.

Coefficient d'atténuation

Le coefficient d'atténuation \alpha, exprimé en décibels (\text{dB}), permet de quantifier la proportion d'intensité sonore absorbée par un obstacle à partir des intensités sonores incidente I_i et transmise I_t :

\alpha = 10 \times \log\left(\dfrac{I_{i\text{ (W.m}^{-2})}}{I_{t\text{ (W.m}^{-2})}}\right)

 

Lorsqu'un son d'intensité sonore 10^{−6} \text{ W.m}^{−2} arrive sur une porte, l'intensité sonore transmise est 10^{−8} \text{ W.m}^{−2}. Le coefficient d'atténuation est : 
\alpha = 10 \times \log\left(\dfrac{I_i}{I_t}\right)
\alpha = 10 \times \log\left(\dfrac{10^{-6}}{10^{-8}}\right)
\alpha = 20 \text{ dB}

La porte a un coefficient d'atténuation de 20 \text{ dB}.

Intensité sonore transmise

La relation donnant l'intensité sonore transmise I_t en fonction du coefficient d'atténuation \alpha et de l'intensité sonore incidente I_i est :

I_{t\text{ (W.m}^{-2})} = I_{i\text{ (W.m}^{-2})}\times 10^{\frac{-\alpha}{10}}

Un son incident d'intensité sonore 1{,}5 \times 10^{−4} \text{ W.m}^{−2} est atténué de 22 \text{ dB}. L'intensité sonore transmise est alors :
I_{t\text{ (W.m}^{-2})} = I_{i\text{ (W.m}^{-2})}\times 10^{\frac{-\alpha}{10}}
I_t= 1{,}5 \times 10^{-4}\times 10^{\frac{-22}{10}}
I_{t} = 9{,}5 \times 10^{-7} \text{ W.m}^{-2}

Les propriétés du logarithme décimal permettent de relier simplement les niveaux sonores des sons incidents et transmis.

Relation entre niveaux d'intensités sonores incidents et transmis

Le niveau sonore d'un son transmis L_t après une atténuation caractérisée par le coefficient \alpha est lié au niveau sonore incident L_i par la relation suivante :

L_{t\text{ (dB)}} = L_{i\text{ (dB)}} - \alpha_{\text{ (dB)}}

Un son incident de niveau sonore 90 \text{ dB} est atténué de 15 \text{ dB}. Le niveau sonore du son transmis est alors :
L_{t\text{ (dB)}} = L_{i\text{ (dB)}} - \alpha_{\text{ (dB)}}
L_{t} = 90 - 15
L_{t} = 75 \text{ dB}

II

L'effet Doppler

L'effet Doppler est la modification de la fréquence, de la période et de la longueur d'une onde. Cette modification se produit lorsque la source émettrice et le récepteur sont en mouvement relatif. L'effet Doppler permet d'obtenir l'expression du décalage Doppler. Le décalage Doppler permet de mesurer la vitesse relative entre l'émetteur et le récepteur.

A

La manifestation de l'effet Doppler

Lorsqu'une source émettrice d'une onde et un récepteur sont en mouvement relatif la fréquence, la période et la longueur d'onde de l'onde reçue par le récepteur ne sont pas égales à ceux de l'onde émise.

Effet Doppler

L'effet Doppler est le phénomène physique caractérisé par un changement apparent de la fréquence d'un signal dû à l'existence d'une vitesse relative entre l'émetteur du signal et le récepteur.

Une illustration de l'effet Doppler est donnée par le passage d'une voiture devant un observateur immobile : le son du moteur paraît plus aigu lorsque le véhicule se rapproche et plus grave lorsqu'il s'éloigne.

B

L'expression du décalage Doppler

Une expression du décalage Doppler est obtenue en étudiant la longueur d'onde de l'onde reçue. Le décalage Doppler se produit au fur et à mesure que la distance entre l'émetteur et le récepteur varie.

Dans la suite du cours, les formules ne s'appliquent qu'au cas le plus courant pour lequel les mouvements de la source d'onde et du récepteur ont lieu sur une droite parallèle à la direction de propagation de l'onde émise.

expression décalage Doppler

Cadre du cours : la source et le récepteur se situent sur une droite parallèle à la direction de propagation de l'onde sonore 

L'effet Doppler étant souvent étudié dans le cas des ondes sonores et électromagnétiques, il est important de connaître la célérité (ou vitesse) de ces ondes :

  • La célérité du son dans l'air est 340 \text{ m.s}^{−1}.
  • La célérité des ondes électromagnétiques dans le vide et dans l'air est 3{,}00.10^8 \text{ m.s}^{−1}.

Fréquence reçue

On considère, une source se rapprochant ou s'éloignant à la vitesse v_E d'un récepteur. Le tableau suivant donne alors les expression de la fréquence reçue, c étant la célérité de l'onde émise et F_E la fréquence de l'onde émise :

Situation  La source sonore se rapproche du récepteur à la vitesse v_E.

La source sonore s'éloigne du récepteur à la vitesse v_E.

Expression de la fréquence reçue F_R F_R = \dfrac{1}{1 - \dfrac{v_E }{c} }\times F_E F_R = \dfrac{1}{1 + \dfrac{v_E }{c} }\times F_E
Conclusion

v_E \lt c \Leftrightarrow (1- \dfrac{v_E}{c}) \lt 1 \Leftrightarrow F_R \gt F_E

La fréquence de l'onde reçue est supérieure à celle de l'onde émise.

v_E \lt c \Leftrightarrow (1+\dfrac{v_E}{c}) \gt 1 \Leftrightarrow F_R \lt F_E

La fréquence de l'onde reçue est inférieure à celle de l'onde émise.

Une voiture se rapproche à la vitesse de 90 \text{ km.h}^{−1} (soit \dfrac{90}{3{,}6} = 25 \text{ m.s}^{-1}) d'une personne immobile. Si le klaxon de la voiture émet un son de fréquence 120 \text{ Hz}, la fréquence du son reçu par la personne est :
F_R = \dfrac{1}{1 - \dfrac{v_E }{c} }\times F_E  
F_R = \dfrac{1}{1 - \dfrac{25 }{340} }\times 120  
F_R = 130 \text{ Hz}

La fréquence reçue est bien supérieure à la fréquence émise par la source. 

On appelle « front d'onde » la surface regroupant les points dans le même état vibratoire à un instant donné.

Autour d'une source ponctuelle, tous les points situés à un multiple de la longueur d'onde du son émis sont situé sur une même sphère. Cette sphère est un front d'onde. 

représentation fronts ondes émis source ponctuelle

Représentation des fronts d'ondes émis par une source ponctuelle

Pour cette démonstration, on considère une source sonore, la sirène d'une ambulance par exemple, qui émet un son de fréquence F_E, se déplaçant à la célérité c et un récepteur sonore, une personne par exemple, qui est initialement situé à une distance d de la source. 

Cas où l'émetteur est immobile par rapport au récepteur :

  • À l'instant t = 0 \text{ s} : la source sonore émet un premier front d'onde.

Ce front d'onde doit se déplacer jusqu'au récepteur pour être reçu. La durée \Delta t écoulée pour que le front d'onde parcoure la distance d à la célérité c est :
\Delta t = \dfrac{d}{c}

Le récepteur reçoit donc ce premier front d'onde à l'instant :
t_1 = 0 + \Delta t \Leftrightarrow t_1 = \dfrac{d}{c}

réception onde sonore source immobile

Réception de l'onde sonore quand la source est immobile

  • À l'instant T = T_E : la source sonore émet le deuxième front d'onde.

Ce front d'onde doit encore se déplacer jusqu'au récepteur. La distance d n'ayant pas varié, la durée \Delta t écoulée pendant cette propagation est encore :
\Delta t = \dfrac{d}{c}

Le récepteur reçoit donc ce deuxième front d'onde après à l'instant :
t_2 = T_E + \Delta t \Leftrightarrow t_2 = T_E +\dfrac{d}{c}

 

  • Pour le récepteur, la période du son reçu T_R correspond à la durée séparant la réception des deux fronts d'onde, soit :
    T_R = t_2 - t_1 =T_E + \dfrac{d}{c} - \dfrac{d}{c}

D'où :
T_R = T_E

Lorsque la source sonore est immobile par rapport au récepteur, celui-ci reçoit donc un son de même période, et donc de même fréquence que le son émis. 

 Cas où l'émetteur est se rapproche du récepteur en se déplaçant à la vitesse v_E :

  • Comme précédemment, le récepteur reçoit le premier front d'onde à l'instant : 
    t_1 = \dfrac{d}{c}

 

  • À l'instant t = T_E : la source sonore émet le deuxième front d'onde.

Ce front d'onde doit encore se déplacer jusqu'au récepteur mais la source ayant parcouru la distance v_E \times T_E, la distance qui la sépare maintenant du récepteur est :
d' = d - v_E \times T_E   

La durée qui s'écoule pendant sa propagation entre la source et le récepteur est donc :
\Delta t' = \dfrac{d'}{c}
\Delta t' = \dfrac{d - v_E \times T_E}{c}

 

  • Le récepteur reçoit donc ce deuxième front d'onde après à l'instant :
    t_2 = T_E + \Delta t' \Leftrightarrow t_2 = T_E + \dfrac{d - v_E \times T_E}{c}

réception onde sonore source mouvement

Réception de l'onde sonore quand la source est en mouvement 

  • Pour le récepteur, la période du son reçu T_R correspond à la durée séparant la réception des deux fronts d'onde, soit :

T_R = t_2 - t_1 = \left(T_E + \dfrac{d - v_E \times T_E}{c}\right) - \dfrac{d}{c}
T_R = T_E + \dfrac{- v_E \times T_E}{c}
T_R = \left(1 - \dfrac{v_E }{c}\right) \times T_E

Soit, avec les fréquences émise F_E et reçue F_R :
F_R = \dfrac{1}{T_R} = \dfrac{1}{\left(1 - \dfrac{v_E }{c}\right) \times T_E}

D'où :
F_R = \dfrac{1}{T_R} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{v_E }{c} }\times F_E

Et puisque la vitesse de la source v_E est inférieure à celle du son c :
v_E \lt c \Leftrightarrow (1- \dfrac{v_E}{c}) \lt 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{1- \dfrac{v_E}{c}} \gt 1

Ainsi, la fréquence du son reçu par le récepteur T_R est supérieure à celle du son émis F_E : le son reçu est plus aigu que le son émis.

Dans les situations où le récepteur est aussi en mouvement, il faut utiliser la vitesse relative de la source par rapport à l'émetteur.

Le long d'un axe, une source se rapproche d'un émetteur à la vitesse v_s et lui aussi s'éloigne de la source à la vitesse v_R :

source récepteur mouvement

La source et le récepteur sont en mouvement 

La vitesse de la source relativement au récepteur est alors :
v_E = v_S-v_R

Pour la même situation, il existe d'autres expressions possibles de la fréquence de l'onde reçue.

La relation F_R = \dfrac{c}{c − v_E }\times F_E est similaire à : F_R = \dfrac{1}{1 − \dfrac{v_E }{c} }\times F_E.

Expression du décalage Doppler

Quand la vitesse v_E de la source par rapport au récepteur est faible devant la célérité c de l'onde (ce qui est généralement le cas pour les ondes électromagnétiques), le décalage relatif de la fréquence \dfrac{\Delta F}{F_E} = \dfrac{F_R - F_E}{F_E} est lié de manière simple au rapport de la vitesse de la source et de la célérité de l'onde :

\dfrac{\Delta F}{F_E} = \dfrac{v_E}{c} si la source se rapproche du récepteur.

\dfrac{\Delta F}{F_E} = -\dfrac{v_E}{c} si la source s'éloigne du récepteur.

Les fréquences des notes la3 et la#sont respectivement 440 \text{ Hz} et 466 \text{ Hz}. La célérité du son dans l'air est 340 \text{ m.s}^{−1}. Une source sonore émet un la#3. Pour qu'un auditeur entende un la3 elle doit s'éloigner de lui à une vitesse vérifiant :
\dfrac{\Delta F}{F_E} = -\dfrac{v_E}{c} soit v_E = − c \times \dfrac{\Delta F}{F_E}

D'où :
v_E = − 340 \times \dfrac{440 − 466}{466}
v_E = 19 \text{ m.s}^{−1}

Soit :
v_E = 68 \text{ km.h}^{-1}

Montrons que le décalage relatif de fréquence causé par l'effet Doppler est :
\dfrac{\Delta F}{F_E} = \dfrac{F_R - F_E}{F_E}

Dans la situation où la source se rapproche du récepteur à la vitesse v_E, on sait que :
F_R = \dfrac{1}{1 - \dfrac{v_E }{c} }\times F_E

D'où :
F_R - F_E = \left(\dfrac{1}{1 - \dfrac{v_E }{c} }\times F_E\right) - F_E

Ce qui donne, après factorisation par F_E :
F_R - F_E = \left(\dfrac{1}{1 - \dfrac{v_E }{c} } - 1\right) \times F_E

D'où :
\dfrac{F_R - F_E}{F_E} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{v_E }{c} } - 1

Et donc :
\dfrac{\Delta F}{F_E} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{v_E }{c} } - 1

Pour n'avoir qu'une seule fraction, on écrit le nombre « 1 » comme étant égal au rapport \dfrac{1 - \dfrac{v_E }{c}}{1 - \dfrac{v_E }{c} }, ce qui permet d'avoir le même dénominateur que la fraction \dfrac{1}{1 - \dfrac{v_E }{c} } :
\dfrac{\Delta F}{F_E} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{v_E }{c} } - \dfrac{1 - \dfrac{v_E }{c} }{1 - \dfrac{v_E }{c} }

On obtient donc :
\dfrac{\Delta F}{F_E} = \dfrac{\dfrac{v_E }{c} }{1 - \dfrac{v_E }{c} }

Dans le cas où la vitesse v_E de la source par rapport au récepteur est faible devant la célérité c de l'onde, le rapport \dfrac{v_E}{c} tend vers 0 :
v_E \lt \lt c \Leftrightarrow \dfrac{v_E}{c} \longmapsto 0  

Il peut donc être négligé devant le nombre « 1 » et le décalage relatif s'écrit alors :
\dfrac{\Delta F}{F_E} = \dfrac{\dfrac{v_E }{c} }{1 }

Soit :
\dfrac{\Delta F}{F_E} =\dfrac{v_E }{c}

Les différentes formules de l'effet Doppler peuvent relier les fréquences F de l'onde émise et de l'onde reçue, mais aussi leur période T et leur longueur d'onde \lambda.

Étant donné que pour une onde : T = \dfrac{1}{F} et \lambda = \dfrac{c}{F}, on obtient les relations suivantes :

 

Situation  La source sonore se rapproche du récepteur à la vitesse v_E

La source sonore s'éloigne du récepteur à la vitesse v_E

 
Expression de la fréquence reçue F_R en fonction de celle de l'onde émise F_E

F_R = \dfrac{1}{1 - \dfrac{v_E }{c} }\times F_E

si v_E \lt \lt c : \dfrac{\Delta F}{F_E} = \dfrac{v_E}{c}

F_R = \dfrac{1}{1 + \dfrac{v_E }{c} }\times F_E

si v_E \lt \lt c : \dfrac{\Delta F}{F_E} = -\dfrac{v_E}{c}

 
Expression de la période de l'onde reçue \bf T_R en fonction de celle de l'onde émise \bf T_E

T_R =(1 - \dfrac{v_E }{c}) \times T_E

si v_E \lt \lt c : \dfrac{\Delta T}{T_E} = -\dfrac{v_E}{c}

T_R =(1 + \dfrac{v_E }{c}) \times T_E

si v_E \lt \lt c : \bf \dfrac{\Delta T}{T_E} = \dfrac{v_E}{c}

 

Expression de la longueur de l'onde reçue \lambda_R en fonction de celle de l'onde émise \lambda_E

\lambda_R =(1 - \dfrac{v_E }{c}) \times \lambda_E

si v_E \lt \lt c : \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_E} = -\dfrac{v_E}{c}

\lambda_R =(1 +\dfrac{v_E }{c}) \times \lambda_E

si v_E \lt \lt c : \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_E} = \dfrac{v_E}{c}

 

Dans le spectre de la lumière émise par une étoile qui s'éloigne de la Terre, on mesure un décalage de longueur d'onde \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_E} =2 \times 10^{-5}.

Puisque :
\dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_E} = \dfrac{v_E}{c}

La vitesse ce cette étoile par rapport à la Terre est :
v_E = \dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_E} \times c
v_E = 2 \times 10^{-5} \times 3 \times 10^{8}
v_E = 6 \times 10^{3} \text{ m.s}^{-1}

C

Les applications de l'effet Doppler

L'effet Doppler subi par une onde acoustique ou électromagnétique permet de déterminer la vitesse relative entre un émetteur et un récepteur.
 

Dans de nombreux domaines, la mesure du décalage relatif de fréquence que subissent des ondes acoustiques ou électromagnétiques par effet Doppler permet de déterminer une vitesse.

Les sonar des bateaux permettent de mesurer la distance qui les sépare d'obstacles ou de poissons, mais aussi de mesurer leur vitesse grâce à l'effet Doppler.

applications effet Doppler fonctionnement sonar

Schéma de fonctionnement d'un sonar 

Le navire émet des ultrasons dans la direction du poisson. Les ultrasons se propagent dans l'eau à la célérité d'environ c = \text{1 500 m.s}^{−1}. Le poisson, qui se déplace vers le fond réfléchit les ultrasons, qui sont captés par le sonar. Si celui-ci mesure un décalage relatif en fréquence \dfrac{\Delta F}{F_E} = -6{,}2 \times 10^{-3}, la vitesse du poisson est :
v_{\text{poisson}} = − c \times \dfrac{\Delta F}{F_E} (puisqu'ici : \dfrac{\Delta F}{F_E} = -\dfrac{v_{\text{poisson}}}{c})

D'où :
v_{\text{poisson}} = \text{1 500} \times 6{,}2 \times 10^{-3}
v_{\text{poisson}} = 9{,}3 \text{ m.s}^{-1}

En astronomie, l'effet Doppler que subissent les ondes électromagnétiques permet de mesurer la vitesse des astres : les longueurs d'onde des raies caractéristiques des éléments chimiques subissent un décalage \Delta \lambda en fonction de la vitesse relative de l'astre émetteur par rapport à la Terre.

En 1929, Edwin Hubble a constaté que pour la plupart des galaxies qui nous entourent, les longueurs d'ondes des raies caractéristiques des éléments chimiques étaient décalées vers le rouge (on appelle ce phénomène le « redshift »). Ainsi, puisque \Delta \lambda est positif, cette observation signifie que les galaxies s'éloignent toutes de nous (et les unes des autres). Cela a été la première preuve du Big Bang.

utilisation effet Doppler astronomie

Décalage des longueurs d'onde

Une autre application de l'effet Doppler est la mesure de la vitesse des véhicules par les « radars » qui sont des émetteurs d'ondes radio (électromagnétiques). Mais cette situation est plus complexe car la source d'onde, le récepteur et la direction de propagation de l'onde ne sont pas alignés et les ondes radio, étant réfléchies par le véhicule, subissent un double effet Doppler.

application effet Doppler mesure vitesse véhicule radar

Dans cette situation, l'expression du décalage relatif Doppler est :
\dfrac{\Delta F}{F_E}=\dfrac{2 \times v_{\text{véhicule}} \times \text{cos}(\theta)}{c}

La vitesse du véhicule est donc déterminée à partir de la mesure du décalage de fréquence :
v_{\text{véhicule}} = \dfrac{c}{2 \times \text{cos}(\theta)} \times \dfrac{\Delta F}{F_E}