Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016
I

Définition et opérations

A

Les définitions

Matrice

Soient m et n deux entiers naturels non nuls. Une matrice A de taille ou de format (m, n) à coefficients réels est un tableau de réels composé de m lignes et n colonnes.
Le terme situé sur la i-ème ligne et la j-ème colonne est appelé terme de position (i, j).

  • Une matrice de taille (1, n), c'est-à-dire ne possédant qu'une seule ligne, est appelée matrice ligne.
  • Une matrice de taille (n, 1), c'est-à-dire ne possédant qu'une seule colonne, est appelée matrice colonne.
  • Une matrice de taille (n, n), c'est-à-dire possédant n lignes et n colonnes, est appelée matrice carrée d'ordre n.
  • Les termes de positions (i, i) d'une matrice carrée sont appelés coefficients diagonaux.

Soit A=(210145,6)

  • A est une matrice de taille (2, 3).
  • Le terme de position (1, 3) de A est égal à 4.
  • Le terme de position (2, 3) de A est égal à 5,6.

Soit B=(1180)

B est une matrice ligne de taille (1, 4).

Soit C=10210

C est une matrice colonne de taille (5, 1).

On considère qu'une matrice composée d'une ligne et d'une colonne est un réel.

Matrices égales

Deux matrices sont égales si et seulement si elles sont de même taille et leurs coefficients de même position sont tous deux à deux égaux.

B

Les propriétés opératoires

Somme de matrices

Soient A et B deux matrices de même taille. On appelle somme des matrices A et B, notée A+B, la matrice de même taille dont les coefficients sont obtenus en sommant deux à deux les coefficients de même position des matrices A et B.

12138+911222=192113+128+22=812530

Produit d'une matrice par un réel

Soient A une matrice et λ un réel quelconque. On appelle produit de la matrice A et du réel λ la matrice notée λA de même taille que A dont les coefficients sont obtenus en multipliant chaque coefficient de A par λ.

2×911222=1822444

C

Le produit matriciel

Produit "matrice ligne x matrice colonne"

On considère une matrice ligne L=(a1an) et une matrice colonne C=b1bn.
Le produit L×C, noté LC, est un réel égal à :

LC=a1b1+...+anbn

(102)381=1×(3)+0×8+(2)×(1)=1

Produit matriciel

On considère une matrice A de taille (m, n) et une matrice B de taille (n, p).
Le produit AB est égal à la matrice C de taille (m, p) telle que le terme de position (i, j) de C est égal au produit de la i-ème ligne de A par la j-ème colonne de B.

(1...4...3...).........201.........=(......1.........)

Détail du calcul : 1=1×2+4×0+3×1

Le produit de deux matrices n'existe que si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde. Ce qui signifie que le produit matriciel n'est pas commutatif : l'ordre de multiplication est important.

Pour éviter les erreurs, la disposition suivante permet d'identifier aisément la ligne et la colonne à multiplier pour obtenir chaque terme de la matrice produit :

-

Matrice colonne

On considère une matrice A de taille (n, n) formées des colonnes A1,..., An, et une matrice colonne X=x1xn.
Le produit AX est égal à la matrice colonne de taille (n, 1) :

AX=x1A1+...+xnAn

On pose A=101220473 et X=122.

AX=1×1012×220+2×473=11105

II

Les matrices carrées et matrices inverses

A

Les matrices carrées remarquables

Matrice carrée

On appelle matrice carrée d'ordre n une matrice de taille (n, n).

La matrice 101220473 est une matrice carrée d'ordre 3.

Diagonale d'une matrice

On appelle diagonale d'une matrice carrée d'ordre n les n coefficients de position (i, i).

Dans la matrice suivante, la diagonale est formée des termes en rouge :

101220479

Matrice triangulaire supérieure

On appelle matrice triangulaire supérieure une matrice carrée dont tous les termes en dessous de la diagonale principale sont nuls.

100152013133 est une matrice triangulaire supérieure.

Matrice triangulaire supérieure stricte

On appelle matrice triangulaire supérieure stricte une matrice carrée dont tous les termes en dessous de la diagonale principale et ceux de la diagonale sont nuls.

000100420 est une matrice triangulaire supérieure stricte.

Matrice diagonale

On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas sur la diagonale sont nuls :

a1000000an

On note : A=diag(a1,...,an).

100020009 est une matrice diagonale.

Matrice identité

On appelle matrice identité d'ordre n la matrice carrée In d'ordre n formée d'une diagonale de 1 et de coefficients nuls ailleurs :

In=100010001

I3=100010001

La matrice identité est une matrice diagonale. Elle joue le rôle de 1 dans le produit matriciel.

Ainsi, pour toute matrice carrée A d'ordre n, on a : AIn=InA

Matrice nulle

On appelle matrice nulle d'ordre n, notée On, la matrice carrée d'ordre n dont tous les coefficients sont nuls.

B

Les opérations

Soient A, B et C trois matrices carrées d'ordre n, et λ un réel.

  • λ(AB)=(λA)B=A(λB)
  • Associativité : A(BC)=(AB)C
  • Distributivité : A(B+C)=AB+AC et (B+C)A=BA+CA
  • AIn=InA=A
  • On=OnA=AOn

Commutativité

Deux matrices carrées A et B d'ordre n commutent si et seulement si :

AB=BA

  • En général, ABBA.
  • AB peut être nulle sans que ni A ni B ne soit nulle.
  • AB=AC n'implique pas nécessairement que B=C.

Produit de deux matrices diagonales

On considère deux matrices diagonales A=diag(a1,...,an) et B=diag(b1,...,bn). On a :

AB=BA=a1b1000000anbn

100020002×100050007=10001000014

C

Les puissances

Puissance d'une matrice

Soient A une matrice carrée d'ordre n et k un entier naturel non nul, on définit la puissance k-ième de A par :

Ak=A×...×Ak fois

Par convention, A0=In.

Pour tous entiers naturels k et r :

Ak×Ar=Ak+r

Puissance d'une matrice diagonale

On considère une matrice diagonale A=diag(a1,...,an) et k un entier naturel non nul. On a :

Ak=ak1000000akn

1000200023=100080008

La puissance n-ième d'une matrice carrée d'ordre n triangulaire supérieure stricte est toujours nulle.

A=000100420

A est une matrice carrée d'ordre 3 triangulaire supérieure stricte. On aura alors A3=03 :

A2=000000200

A3=000000000

D

L'inverse d'une matrice

Matrice inverse

La matrice carrée A d'ordre n est inversible si et seulement s'il existe une matrice B telle que :

AB=BA=In

La matrice B est alors appelée matrice inverse de A et est notée A1. Elle est unique.

On considère les matrices A=(1032) et B=103212, et on calcule leurs produits :

AB=(1032)103212=(1001)=I2

BA=103212(1032)=(1001)=I2

On en déduit que A est inversible et que A1=B.

Matrice inverse d'une matrice diagonale

On considère une matrice diagonale A=diag(a1,...,an). A est inversible si et seulement si aucun des coefficients de sa diagonale n'est nul, et on a :

A1=diag(1a1,...,1an)

La matrice A=2000300034 est inversible et on a :

A1=120001300043

Matrice inverse d'une matrice carrée d'ordre 2

On considère une matrice carrée d'ordre 2 notée :

A=acbd

A est inversible si et seulement si adbc0. Si adbc0, l'inverse de A est :

A1=1adbcdcba

La matrice A=1216 est inversible car 1×62×1=40 et on a :

A1=146211

III

L'expression matricielle d'un système

Soit a, b, c, d, s et t des réels. Le système {ax+by=scx+dy=t d'inconnues x et y est équivalent aux équations matricielles :

(acbd)(xy)=(st)

ou

x(ac)+y(bd)=(st)

Si la matrice acbd est inversible, alors la matrice des solutions xy est égale à acbd1st.

3x+2y=18x+5y=43825xy=14

pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.