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Déterminer par le calcul une matrice inverse

On peut déterminer l'inverse d'une matrice carrée M en la multipliant par une matrice carrée de même ordre à coefficients inconnus et résolvant un système d'équations obtenu.

Soit la matrice \(\displaystyle{M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \cr\cr 1 & 2 \end{pmatrix}}\). Déterminer sa matrice inverse M'.
Etape 1

Vérifier que la matrice est carrée

On vérifie que la matrice est carrée, c'est-à-dire qu'elle a le même nombre de lignes que de colonnes.

La matrice M est carrée de dimension 2.
Etape 2

Poser une matrice de même dimension à coefficients indéterminés

On définit une matrice M' à coefficients indéterminés.

On pose \(\displaystyle{M'=\begin{pmatrix} a & b \cr\cr c & d \end{pmatrix}}\).
Etape 3

Poser \(\displaystyle{MM' =I}\)

La matrice M' est inverse de la matrice M si et seulement si \(\displaystyle{MM'= I}\).

On pose donc le calcul et on en déduit un système d'équations.

On sait que \(\displaystyle{MM'= I}\).

Donc :

\(\displaystyle{\begin{pmatrix} 1 & 3 \cr\cr 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \cr\cr c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \cr\cr 0 & 1 \end{pmatrix}}\)

D'où :

\(\displaystyle{\begin{pmatrix} a+3c & b+3d \cr\cr a+2c & b+2d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \cr\cr 0 & 1 \end{pmatrix}}\)

On en déduit le système suivant :

\(\displaystyle{\begin{cases} a+3c=1 \cr \cr b+3d = 0 \cr \cr a+2c=0 \cr \cr b+2d = 1 \end{cases}}\)

Etape 4

Résoudre

On résout le système d'équations.

On résout le système :

\(\displaystyle{\begin{cases} a+3c=1 \cr \cr b+3d = 0 \cr \cr a+2c=0 \cr \cr b+2d = 1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \begin{cases} a+3c=1 \cr \cr b=-3d \cr \cr a=-2c\cr \cr b+2d = 1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \begin{cases} -2c+3c=1 \cr \cr b=-3d \cr \cr a=-2c\cr \cr -3d+2d = 1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \begin{cases} c=1 \cr \cr b=-3d \cr \cr a=-2c\cr \cr d =- 1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \begin{cases} c=1 \cr \cr b=3 \cr \cr a=-2\cr \cr d =- 1 \end{cases}}\)

Etape 5

Conclure

On conclut en donnant M'.

On conclut que M est inversible et que sa matrice inverse vaut :

\(\displaystyle{M' =\begin{pmatrix} -2 & 3 \cr\cr 1 & -1 \end{pmatrix}}\)

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