Sommaire
1Vérifier que la matrice est carrée 2Poser une matrice de même dimension à coefficients indéterminés 3Poser MM' =I 4Résoudre 5Conclure Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020
On peut déterminer l'inverse d'une matrice carrée M en la multipliant par une matrice carrée de même ordre à coefficients inconnus et résolvant un système d'équations obtenu.
Soit la matrice M = \begin{pmatrix} 1 & 3 \cr\cr 1 & 2 \end{pmatrix}. Déterminer sa matrice inverse M'.
Vérifier que la matrice est carrée
On vérifie que la matrice est carrée, c'est-à-dire qu'elle a le même nombre de lignes que de colonnes.
La matrice M est carrée de dimension 2.
Poser une matrice de même dimension à coefficients indéterminés
On définit une matrice M' à coefficients indéterminés.
On pose M'=\begin{pmatrix} a & b \cr\cr c & d \end{pmatrix}.
Poser MM' =I
La matrice M' est inverse de la matrice M si et seulement si MM'= I.
On pose donc le calcul et on en déduit un système d'équations.
On sait que MM'= I.
Donc :
\begin{pmatrix} 1 & 3 \cr\cr 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \cr\cr c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \cr\cr 0 & 1 \end{pmatrix}
D'où :
\begin{pmatrix} a+3c & b+3d \cr\cr a+2c & b+2d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \cr\cr 0 & 1 \end{pmatrix}
On en déduit le système suivant :
\begin{cases} a+3c=1 \cr \cr b+3d = 0 \cr \cr a+2c=0 \cr \cr b+2d = 1 \end{cases}
Résoudre
On résout le système d'équations.
On résout le système :
\begin{cases} a+3c=1 \cr \cr b+3d = 0 \cr \cr a+2c=0 \cr \cr b+2d = 1 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} a+3c=1 \cr \cr b=-3d \cr \cr a=-2c\cr \cr b+2d = 1 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} -2c+3c=1 \cr \cr b=-3d \cr \cr a=-2c\cr \cr -3d+2d = 1 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} c=1 \cr \cr b=-3d \cr \cr a=-2c\cr \cr d =- 1 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} c=1 \cr \cr b=3 \cr \cr a=-2\cr \cr d =- 1 \end{cases}
Conclure
On conclut en donnant M'.
On conclut que M est inversible et que sa matrice inverse vaut :
M' =\begin{pmatrix} -2 & 3 \cr\cr 1 & -1 \end{pmatrix}