Terminale S 2016-2017
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Terminale S 2016-2017

Applications des lois de Newton

Les lois de la dynamique de Newton ont un très vaste champ d'application car elles sont vérifiées pour énormément de cas concrets à la surface de la Terre. La première de ces applications concerne bien évidemment le mouvement des corps à la surface de la Terre. Les objets proches de la surface terrestre sont soumis à la pesanteur terrestre. Une façon de modéliser ce phénomène est le champ uniforme. L'étude des mouvements dans ce type de champ est fondamentale car ils sont similaires quel que soit le champ considéré.

L'application des lois de Newton dépasse cependant l'étude des mouvements à la surface terrestre et elles permettent de calculer les mouvements des planètes et ainsi de prévoir leurs trajectoires.

I

Le mouvement d'un système dans un champ uniforme

Champ uniforme

Un champ uniforme est un champ de vecteurs identiques en tout point de l'espace, dans une zone donnée.

A

Le champ de pesanteur terrestre

Champ de pesanteur terrestre

Le champ de pesanteur terrestre est un champ vectoriel uniforme au voisinage de la Terre défini par le vecteur g, appelé champ de pesanteur ou accélération de la pesanteur.

-

Les caractéristiques du vecteur g sont les suivantes :

  • Sa norme g vaut 9,8 N.kg−1.
  • Sa direction est toujours la verticale du lieu considéré.
  • Son sens va toujours vers la surface de la Terre.
B

Les équations horaires du mouvement

On considère un système de masse m en mouvement dans le champ de pesanteur terrestre tel que, à l'instant t=t0=0 seconde :

  • Le centre de gravité G est au centre d'un repère orthonormé (O,i,j,k)
  • Le système est animé d'une vitesse v0 contenu dans le plan (yOz) faisant un angle α avec l'axe y.
  • Le système n'est soumis qu'à l'action de son poids P=mg
-

En supposant que le référentiel d'étude est galiléen, l'application de la deuxième loi de Newton permet d'obtenir l'équation du mouvement :

Équation du mouvement d'un système dans un champ de pesanteur uniforme

dvG(t)dt=aG(t)=gaG(t)00g

En intégrant deux fois et en utilisant les conditions initiales (OG(t=0)=0 et vG(t=0)=v0 ), on obtient les équations horaires du mouvement.

Équations horaires du mouvement

Les équations horaires du mouvement du centre d'inertie d'un système sont les équations donnant l'évolution de sa position au cours du temps.

Équations horaires d'un système dans un champ de pesanteur uniforme

OGx(t)=0y(t)=v0cos(α)tz(t)=12gt2+v0sin(α)t

C

L'équation de la trajectoire

Équation de la trajectoire

L'équation de la trajectoire est l'équation obtenue en éliminant le temps des équations horaires du mouvement.

En reportant dans l'équation z(t) le temps exprimé en fonction de y grâce à l'équation y(t), on obtient l'équation de la trajectoire z(y).

Équation de la trajectoire d'un système dans un champ de pesanteur uniforme

L'équation de la trajectoire définit une parabole d'équation :

z(y)=12g(yv0cos(α))2+ytan(α)

-
D

Le mouvement d'une charge dans un champ électrostatique uniforme

Champ électrostatique uniforme

Un champ électrostatique uniforme est une zone de l'espace pour laquelle le champ électrique E, dû à une différence de potentiel, est identique en tout point de cet espace.

Le champ électrique entre deux armatures d'un condensateur est un champ électrostatique uniforme.

On considère une charge électrique ponctuelle Q, de charge q et de masse m, placée entre les armatures d'un condensateur tel que, à l'instant t=t0=0 seconde :

  • La charge se trouve à l'origine d'un repère (0,i,j,k).
  • La charge est animée d'une vitesse v0 contenue dans le plan (yOz) faisant un angle α avec l'axe y.
  • La charge n'est soumise qu'à l'action du champ électrique qui se traduit par la force Fe=qE.
-

En supposant que le référentiel d'étude est galiléen, l'application de la deuxième loi de Newton permet d'obtenir l'équation du mouvement :

Équation du mouvement d'une charge dans un champ électrostatique uniforme

dvQ(t)dt=aQ(t)=qmEaQ(t)00qmE

Cette équation est analogue à l'équation du mouvement dans un champ de pesanteur uniforme où :

  • Le vecteur champ électrique E est l'équivalent du vecteur champ de pesanteur g.
  • Le coefficient entre le vecteur accélération et le vecteur champ ne vaut pas 1 mais (qm).

Par conséquent, les équations horaires sont similaires :

Équations horaires d'une charge dans un champ électrostatique uniforme

OQx(t)=0y(t)=v0cos(α)tz(t)=12qEmt2+v0sin(α)t

L'équation de la trajectoire est donc elle aussi similaire à celle du champ de pesanteur uniforme :

Équation de la trajectoire d'une charge dans un champ électrostatique uniforme

L'équation de la trajectoire définit une parabole d'équation :

z(y)=12(qEm)(yv0cos(α))2+ytan(α)

-
E

Les caractéristiques d'un mouvement dans un champ uniforme quelconque

Le mouvement d'un système quelconque soumis à l'action d'un champ uniforme quelconque et animé d'une vitesse initiale v0 non nulle possède les caractéristiques suivantes :

  • Le vecteur accélération est colinéaire avec le vecteur du champ considéré.
  • Le mouvement du centre d'inertie est contenu dans un même plan.
  • La trajectoire est une parabole.
II

Le mouvement des planètes et des satellites

A

La loi universelle de la gravitation

Loi universelle de la gravitation

La loi universelle de la gravitation énonce que :

"Deux corps A et B, de masses respectives mA et mB, dont les centres d'inertie respectifs GA et GB sont séparés d'une distance r, exercent l'un sur l'autre une action mécanique attractive modélisée par une force appelée force d'attraction gravitationnelle proportionnelle aux masses mA et mB et inversement proportionnelle au carré de la distance r les séparant."

-

Force gravitationnelle

L'expression vectorielle de la loi universelle de la gravitation est donnée par la relation suivante :

FA/B=FB/A=GmAmBr2eAB

Avec :

  • G la constante universelle de gravitation ;G=6,67.1011 m3.kg−1.s−2
  • mA la masse du corps A (en kg)
  • mB la masse du corps B (en kg)
  • r la distance entre les deux corps (en m)
  • eAB le vecteur unitaire orienté de A vers B

La Terre exerce une force d'attraction sur la Lune identique mais de sens opposé à celle qu'exerce la Lune sur la Terre. Pour la calculer, il faut connaître :

  • La masse de la Terre : MT=5,97.1024 kg
  • La masse de la Lune : ML=7,33.1022 kg
  • La distance Terre − Lune : RTL=3,84.108 m

La force d'attraction entre la Terre et la Lune vaut donc :

FA/B=GMmr2

FTerre/Lune=GMTMLR2TL

FTerre/Lune=6,67.1011×5,97.1024×7,33.1022(3,84.108)2

FTerre/Lune=1,98.1020 N

B

L'application de la deuxième loi de Newton

La loi universelle de la gravitation permet de déterminer les trajectoires des satellites et des planètes en utilisant la deuxième loi de Newton. Il faut pour cela faire l'approximation des orbites circulaires.

1

L'approximation des orbites circulaires

On considère un objet (planète ou satellite) P de masse m, en mouvement circulaire uniforme sur une orbite de rayon r, autour d'un astre attracteur A de masse M. La seule force prise en considération est la force d'attraction gravitationnelle entre l'astre attracteur et l'objet.

-

Pour un objet en mouvement circulaire uniforme, la vitesse et l'accélération sont liées par la relation suivante :

a=v2r

Avec :

  • a l'accélération de l'objet (en m.s−2)
  • v la vitesse de l'objet (en m.s−1)
  • r le rayon de l'orbite circulaire (en m)
2

La vitesse d'un objet en orbite circulaire

En appliquant la deuxième loi de Newton dans le référentiel, supposé galiléen, lié à l'astre attracteur, on obtient l'équation du mouvement :

dvp(t)dt=ap(t)=GMr2ePA

En utilisant la relation liant la vitesse et l'accélération pour un mouvement circulaire uniforme, on obtient l'expression de la vitesse de l'objet.

Vitesse d'un objet lors d'un mouvement circulaire uniforme

La vitesse d'une planète ou d'un satellite en mouvement circulaire uniforme e est donnée par la relation suivante :

v=GMr

Avec :

  • G la constante universelle de gravitation (en m3.kg−1.s−2)
  • M la masse de l'astre attracteur (en kg)
  • r le rayon de l'orbite circulaire (en m)

On considère un satellite géostationnaire placé sur une orbite circulaire à une altitude h de 35 786 km de façon à rester toujours à la verticale d'un même lieu à la surface de la Terre. Si on note RT le rayon de la Terre valant 6,37.106 mètres et MT sa masse valant 5,98.1024 kilogrammes, la vitesse d'un tel satellite vaudra :

v=GMr

vsatellite=GMT(RT+h)

vsatellite=6,67.1011×5,98.1024(6,37.106+3,58.107)

vsatellite=3,08.103 m.s−1

L'équation du mouvement montre que le vecteur accélération est dirigé vers le centre de la trajectoire circulaire. De plus, le vecteur vitesse étant toujours tangent à la trajectoire, le vecteur accélération et le vecteur vitesse sont perpendiculaires à chaque instant. Ceci traduit le fait que le mouvement est circulaire et uniforme.

3

La période de révolution

Période de révolution

La période de révolution, souvent notée T, est le temps nécessaire pour qu'une planète ou satellite fasse le tour complet de son orbite.

La période de révolution de la Terre autour du Soleil est de 365,25 jours.

Période de révolution

La période de révolution est donnée par l'expression suivante :

T=2Πrv=2Πr3GM

Avec :

  • T la période de révolution de l'objet (en s)
  • G la constante universelle de gravitation (en m3.kg−1.s−2)
  • M la masse de l'astre attracteur (en kg)
  • r le rayon de l'orbite circulaire (en m)

On veut calculer la période de révolution TT de la Terre autour du Soleil sachant que la distance Terre-Soleil RTS vaut 1,50.1011 mètres et que la masse du Soleil MS vaut 2,00.1030 kilogrammes. En appliquant la formule, on trouve :

T=2Πr3GM

TT=2ΠR3STGMS

TT=2Π(1,50.1011)36,67.1011×2,00.1030

TT=3,16.107 s =366 jours

C

Les trajectoires réelles des planètes et les lois de Kepler

En réalité, l'orbite des planètes n'est pas circulaire. Johannes Kepler a décrit les trajectoires réelles des planètes et des astres grâce à trois lois.

1

La première loi de Kepler

Première loi de Kepler

La première loi de Kepler énonce que :

"Dans le référentiel héliocentrique, les planètes suivent des trajectoires en forme d'ellipse dont le Soleil est l'un des foyers."

-
2

La deuxième loi de Kepler

Deuxième loi de Kepler

La deuxième loi de Kepler énonce que :

"Pour une durée donnée, le segment reliant la planète au Soleil balaye toujours la même surface."

-
3

La troisième loi de Kepler

Troisième loi de Kepler

La troisième loi de Kepler donne une relation entre la période de révolution et le demi-grand axe de l'ellipse :

T2a3=constante

Avec :

  • T la période de révolution (en s)
  • a le demi-grand axe de l'ellipse (en m)
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