Terminale S 2016-2017
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Terminale S 2016-2017

Appliquer la troisième loi de Kepler au mouvement d'une planète

On considère un système S de masse m en mouvement circulaire uniforme autour d'un astre attracteur A de masse M (M étant très grande devant m).

L'application de la troisième loi de Kepler permet d'obtenir une expression théorique de la masse M de l'astre attracteur.

La planète Mars est en orbite quasi-circulaire autour du Soleil. À l'aide de la troisième loi de Kepler, déterminer la masse du Soleil.

Données :

  • Constante universelle de gravitation : G=6,67×1011 m3.kg−1.s−2
  • Période de révolution de Mars : T=687 j
  • Rayon de l'orbite de Mars : r=2,3×108 km
Etape 1

Rappeler la troisième loi de Kepler

On rappelle la troisième loi de Kepler qui concerne la période de révolution T (en s) du système S et le rayon de l'orbite r (en m) :

T2r3=constante

La troisième loi de Kepler exprime une relation entre la période de révolution T (en s) de la planète et le rayon de l'orbite r (en m) :

T2r3=constante

Etape 2

Rappeler l'expression de la période de révolution T déduite de l'application de la deuxième loi de Newton

On rappelle l'expression de la période de révolution T du système S autour de l'astre attracteur A déduite de l'application de la deuxième loi de Newton :

T=2×π×r3G×M

L'expression de la période de révolution T de la planète Mars autour du Soleil est déduite de l'application de la deuxième loi de Newton :

T=2×π×r3G×MS

Etape 3

Exprimer le rapport T2r3 à partir de la relation précédente

On exprime le rapport T2r3 à partir de l'expression de la période de révolution T donnée précédemment :

T=2×π×r3G×M

T2=4×π2×r3G×M

T2r3=4×π2×1G×M

Le rapport T2r3 à partir de l'expression de la période de révolution T donnée précédemment s'exprime alors par :

T=2×π×r3G×MS

T2=4×π2×r3G×MS

T2r3=4×π2×1G×MS

Etape 4

Déduire l'expression de la constante dans la troisième loi de Kepler

On déduit du rapport T2r3 l'expression de la constante dans la troisième loi de Kepler :

T2r3=constante=4×π2G×M

La relation précédente permet d'obtenir l'expression de la constante dans la troisième loi de Kepler :

T2r3=constante=4×π2G×MS

Etape 5

Conclure en donnant l'expression de la masse M de l'astre attracteur en fonction des autres paramètres

On manipule l'expression pour exprimer la masse M de l'astre attracteur A en fonction des autres paramètres :

T2r3=4×π2G×M

M×T2r3=4×π2G

M=4×π2×r3G×T2

On obtient la masse M du Soleil en fonction des autres paramètres :

T2r3=4×π2G×MS

MS×T2r3=4×π2G

MS=4×π2×r3G×T2

Etape 6

Effectuer l'application numérique

On effectue l'application numérique.

L'application numérique peut être effectuée avec les données mises dans les bonnes unités :

  • Période de révolution de Mars : T=687×24×3 600=5,9×107 s
  • Rayon de l'orbite de Mars : r=2,3×1011 m

On obtient :

MS=4×π2×(2,3×1011)36,67×1011×(5,9×107)2

MS=2,1×1030 kg

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