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Appliquer la troisième loi de Kepler au mouvement d'une planète

On considère un système S de masse m en mouvement circulaire uniforme autour d'un astre attracteur A de masse M (M étant très grande devant m).

L'application de la troisième loi de Kepler permet d'obtenir une expression théorique de la masse M de l'astre attracteur.

La planète Mars est en orbite quasi-circulaire autour du Soleil. À l'aide de la troisième loi de Kepler, déterminer la masse du Soleil.

Données :

  • Constante universelle de gravitation : \(\displaystyle{G=6,67\times10^{-11}}\) m3.kg−1.s−2
  • Période de révolution de Mars : \(\displaystyle{T=687}\) j
  • Rayon de l'orbite de Mars : \(\displaystyle{r=2,3\times10^8}\) km
Etape 1

Rappeler la troisième loi de Kepler

On rappelle la troisième loi de Kepler qui concerne la période de révolution T (en s) du système S et le rayon de l'orbite r (en m) :

\(\displaystyle{\dfrac{T^2}{r^3} = constante}\)

La troisième loi de Kepler exprime une relation entre la période de révolution T (en s) de la planète et le rayon de l'orbite r (en m) :

\(\displaystyle{\dfrac{T^2}{r^3} = constante}\)

Etape 2

Rappeler l'expression de la période de révolution T déduite de l'application de la deuxième loi de Newton

On rappelle l'expression de la période de révolution T du système S autour de l'astre attracteur A déduite de l'application de la deuxième loi de Newton :

\(\displaystyle{T = 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{r^3}{G \times M}}}\)

L'expression de la période de révolution T de la planète Mars autour du Soleil est déduite de l'application de la deuxième loi de Newton :

\(\displaystyle{T = 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{r^3}{G \times M_S}}}\)

Etape 3

Exprimer le rapport \(\displaystyle{\dfrac{T^2}{r^3}}\) à partir de la relation précédente

On exprime le rapport \(\displaystyle{\dfrac{T^2}{r^3}}\) à partir de l'expression de la période de révolution T donnée précédemment :

\(\displaystyle{T = 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{r^3}{G \times M}}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow T^2 = 4 \times \pi^2 \times \dfrac{r^3}{G \times M}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \dfrac{T^2}{r^3} = 4 \times \pi^2 \times \dfrac{1}{G \times M}}\)

Le rapport \(\displaystyle{\dfrac{T^2}{r^3}}\) à partir de l'expression de la période de révolution T donnée précédemment s'exprime alors par :

\(\displaystyle{T = 2 \times \pi \times \sqrt{\dfrac{r^3}{G \times M_S}}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow T^2 = 4 \times \pi^2 \times \dfrac{r^3}{G \times M_S}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \dfrac{T^2}{r^3} = 4 \times \pi^2 \times \dfrac{1}{G \times M_S}}\)

Etape 4

Déduire l'expression de la constante dans la troisième loi de Kepler

On déduit du rapport \(\displaystyle{\dfrac{T^2}{r^3}}\) l'expression de la constante dans la troisième loi de Kepler :

\(\displaystyle{\dfrac{T^2}{r^3} = constante = \dfrac{4 \times \pi^2}{G \times M}}\)

La relation précédente permet d'obtenir l'expression de la constante dans la troisième loi de Kepler :

\(\displaystyle{\dfrac{T^2}{r^3} = constante = \dfrac{4 \times \pi^2}{G \times M_S}}\)

Etape 5

Conclure en donnant l'expression de la masse M de l'astre attracteur en fonction des autres paramètres

On manipule l'expression pour exprimer la masse M de l'astre attracteur A en fonction des autres paramètres :

\(\displaystyle{\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4 \times \pi^2}{G \times M}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow M \times\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4 \times \pi^2}{G}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow M = \dfrac{4 \times \pi^2 \times r^3}{G \times T^2}}\)

On obtient la masse M du Soleil en fonction des autres paramètres :

\(\displaystyle{\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4 \times \pi^2}{G \times M_S}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow M_S \times\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4 \times \pi^2}{G}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow M_S = \dfrac{4 \times \pi^2 \times r^3}{G \times T^2}}\)

Etape 6

Effectuer l'application numérique

On effectue l'application numérique.

L'application numérique peut être effectuée avec les données mises dans les bonnes unités :

  • Période de révolution de Mars : \(\displaystyle{T=687\times24\times3\ 600=5,9\times10^7}\) s
  • Rayon de l'orbite de Mars : \(\displaystyle{r=2,3\times10^{11}}\) m

On obtient :

\(\displaystyle{M_S = \dfrac{4 \times \pi^2 \times \left(2,3\times10^{11}\right)^3}{6,67\times10^{-11} \times \left(5,9\times 10^7\right)^2}}\)

\(\displaystyle{M_S=2,1\times10^{30}}\) kg

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