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Résoudre graphiquement une inéquation

Grâce aux courbes représentatives des fonctions de référence, on peut déterminer graphiquement les solutions de certaines inéquations du type \(\displaystyle{f\left(x\right) \gt a}\) ou \(\displaystyle{f\left(x\right) \lt a}\).

Résoudre graphiquement sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'inéquation \(\displaystyle{x^2-9 \gt 0}\).
Etape 1

Identifier la fonction de référence et tracer sa courbe représentative

On se ramène à une inéquation du type \(\displaystyle{f\left(x\right) \gt a}\) ou \(\displaystyle{f\left(x\right) \lt a}\), où f est une fonction de référence classique.

On trace \(\displaystyle{C_f}\), la courbe représentative de f, dans un repère.

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{x^2 -9 \gt 0 \Leftrightarrow x^2 \gt 9}\)

On va utiliser la courbe représentative de \(\displaystyle{x\longmapsto x^2}\) que l'on trace dans un repère orthonormal.

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Etape 2

Tracer la droite d'équation \(\displaystyle{y=a}\)

Sur le même repère, on trace la droite horizontale d'équation \(\displaystyle{y = a}\).

On trace la droite d'équation \(\displaystyle{y=9}\) dans le même repère.

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Etape 3

Réciter le cours

On récite le cours :

  • Les solutions de l'inéquation \(\displaystyle{f\left(x\right) \gt a}\) sont les abscisses des points de la courbe représentative de f situés au-dessus de la droite d'équation \(\displaystyle{y=a}\).
  • Les solutions de l'inéquation \(\displaystyle{f\left(x\right) \lt a}\) sont les abscisses des points de la courbe représentative de f situés en dessous de la droite d'équation \(\displaystyle{y=a}\).

Les solutions de l'inéquation \(\displaystyle{f\left(x\right) \gt 9}\) sont les abscisses des points de la courbe représentative de f situés au-dessus de la droite d'équation \(\displaystyle{y=9}\).
Etape 4

Résoudre graphiquement l'inéquation

On détermine graphiquement les solutions de l'inéquation.

Selon que l'inégalité est stricte ou large dans l'inéquation, on veille à choisir l'intervalle de solutions ouvert ou fermé.

Graphiquement, on détermine que les points de \(\displaystyle{C_f}\) situés au-dessus de la droite ont des abscisses comprises dans la réunion d'intervalles \(\displaystyle{\left] -\infty ;-3 \right[ \cup \left] 3 ;+\infty \right[}\).

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Graphiquement, l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

\(\displaystyle{S=\left] -\infty ;-3 \right[ \cup \left] 3 ;+\infty \right[}\)

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