Représenter algébriquement et graphiquement les fonctionsCours

I

Les fonctions définies sur un intervalle ou une réunion finie d'intervalles de \mathbb{R}

Lorsqu'il s'agit de fonctions, elles peuvent être définies sur un intervalle, souvent leur intervalle de définition qui peut être \mathbb{R} , ou sur une réunion d'intervalles si la fonction n'est pas définie pour certaines valeurs.

A

Les fonctions définies sur un intervalle

Les fonctions réelles sont définies sur un intervalle de \mathbb{R} . On parle alors du domaine de définition d'une fonction.

Domaine de définition

Une fonction réelle peut être définie sur un intervalle de \mathbb{R}. On dit alors que cet intervalle de \mathbb{R} est le domaine de définition de f .

On a :

f : x \mapsto 3x − 2 \quad \text{Pour } x \in ]−3;2]

les fonctions définies sur un intervalle

Le domaine de définition de f est ]−3; 2[. Pour cette fonction, on ne peut pas calculer f(4) car 4 \not \in ]−3;2].

B

Les fonctions définies sur une réunion d'intervalles

Il se peut qu'une fonction n'ait pas d'images pour certaines valeurs de \mathbb{R} . On parle alors d'une fonction définie sur une réunion d'intervalle.

Réunion d'intervalles

Une fonction réelle peut être définie sur une réunion d'intervalles de \mathbb{R}. Il faut pour cela :

  • que les intervalles soient disjoints ;
  • ou bien que la définition soit la même sur la réunion de deux intervalles quelconques.

Soit f la fonction définie par :

f(x) = \left\{\begin{array}{rl} x^2 \quad &\text{ Pour } x \in [0, 1]\\ x^3 \quad &\text{ Pour } x \in ]1; 5[ \end{array}\right.

La fonction est bien définie, car les intervalles [0, 1]et ]1; 5[ sont disjoints.

On pose la fonction f suivante :

f(x) = \left\{\begin{array}{rl} -3 x +2 \quad & \text{ Pour } x \in [0, 1]\\ 8x -2 \quad &\text{ Pour } x \in \left]\dfrac{1}{2}; 5\right[ \end{array}\right.

Cette fonction est mal définie, car les intervalles [0;1] et ]\dfrac{1}{2}; 5[ ne sont pas disjoints. En effet :

\left]\dfrac{1}{2}; 5\right[ \cap [0;1] = \left] \dfrac{1}{2}; 1\right]

De plus, les deux définitions sur cette intersection ne coïncident pas. Selon la première définition, f(1) = −3\times 1 + 2 = −1 alors que la seconde donne f(1) = 8\times 1 − 2 = 6.

La fonction suivante est bien définie :
f(x) = \left\{\begin{array}{rl} 1 & x \in [0;1]\\ 2 & x \in ]1;2] \end{array}\right.

La fonction suivante est mal définie :
f(x) = \left\{\begin{array}{rl} 1 & x \in [0;1]\\ 2 & x \in [1;2] \end{array}\right.

II

La représentation graphique des fonctions

On peut tracer la courbe représentative d'une fonction définie sur \mathbb{R} à valeurs dans \mathbb{R} , dans le plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right). Cette représentation est souvent utile pour déterminer des propriétés de symétrie. On parle alors de fonctions paires et de fonctions impaires.

A

La courbe représentative d'une fonction

La courbe représentative d'une fonction permet de tracer dans le plan l'ensemble des points (x ; f(x)) dans le repère \left(O; \overrightarrow{\imath}; \overrightarrow{\jmath} \right) .

Courbe représentative d'une fonction

Dans un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right) du plan, la courbe représentative d'une fonction f définie sur \mathbb{R} à valeurs réelles est définie comme l'ensemble des points M qui ont pour coordonnées (x;y) telles que :

y = f(x)

Un point A(x; y) du plan muni d'un repère orthonormé \left(O; \overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right) est sur la courbe représentative d'une fonction f si et seulement si y = f(x).

Le point A(2; 6) est sur la courbe représentative de la fonction f : x \mapsto x^x+2, puisque f(2) = 2^2 + 2 = 6.

B

Les fonctions paires et les fonctions impaires

Les fonctions paires sont des fonctions dont la courbe est symétrique par rapport à l'axe (O; \overrightarrow{\jmath}) . Les fonctions impaires sont des fonctions dont la courbe est symétrique par rapport au point O.

1

Les fonctions paires

Les fonctions paires sont symétriques par rapport à l'axe (O; \overrightarrow{\jmath}) . Les réels x et -x ont la même image f(x) .

Fonction paire

Soit f une fonction réelle. Une fonction est dite paire si et seulement si pour tout nombre x appartenant au domaine de définition de f, on a :

f(-x) = f(x)

Une fonction est paire si et seulement si sa courbe représentative dans le plan est symétrique selon l'axe des ordonnées.

-

La fonction carrée f : x \mapsto x^2 est une fonction paire, puisque pour tout x \in \mathbb{R} :
f(-x) = (-x)^2 = ((−1)*(x))^2 = 1\times x^2 = x^2 = f(x)

2

Les fonctions impaires

Les fonctions impaires sont symétriques par rapport au point . Les réels x et -x ont une image opposée.

Fonction impaire

Soit f une fonction réelle. Une fonction est dite impaire si et seulement si pour tout nombre x appartenant au domaine de définition de f, on a :

f(-x) = -f(x)

-

La fonction cube f : x \mapsto x^3 est une fonction impaire, puisque pour tout x \in \mathbb{R} :
f(-x) = (-x)^3 = ((−1)\times(x))^3 = (−1)^3\times x^3 =−1 \times x^3 = -f(x)

Si 0 fait partie du domaine de définition de la fonction f et que f est impaire, alors f(0) = 0. En effet, f(0) = f(−0) = -f(0), d'où 2f(0) = 0, et donc f(0) = 0.

III

La résolution graphique d'inéquation du type f(x) < g(x)

Pour résoudre une inéquation du type f(x) < g(x), on compare les positions relatives des courbes représentatives de f et g.

Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I et leurs courbes représentatives. Soit x un nombre réel de l'intervalle I. Alors f(x) <g(x) si et seulement si, pour cette abscisse x, la courbe représentative de f est située strictement sous la courbe représentative de g.

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On trace en vert la courbe représentative d'une fonction f(x) et en bleu la courbe représentative d'une fonction g(x) . On souhaite savoir sur quel intervalle f \geq g .

La courbe verte est au-dessus de la courbe bleue sur l'intervalle [−2 ; 8] . Ainsi, f(x) \geq g(x), \forall x \in  [−2 ; 8] .

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