Première S 2015-2016

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Etudier le domaine de définition d'une fonction

Méthode 1

Si l'expression donnée de la fonction comporte une racine

Afin d'étudier une fonction comportant une racine, il convient d'abord de déterminer son ensemble de définition.

Soit la fonction f telle que :

\(\displaystyle{f\left(x\right)= \sqrt{3x+7}}\)

Déterminer l'ensemble de définition de f.

Etape 1

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que \(\displaystyle{\sqrt{u\left(x\right)}}\) est définie si et seulement si \(\displaystyle{u\left(x\right) \geq 0}\).

La fonction f est définie si et seulement si \(\displaystyle{3x+7 \geq 0}\).

Etape 2

Résoudre

On résout l'inéquation \(\displaystyle{u\left(x\right) \geq 0}\).

On a, pour tout réel x :

\(\displaystyle{3x+7 \geq 0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow3x \geq -7}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x \geq -\dfrac{7}{3}}\)

Etape 3

Conclure sur le domaine de définition

La fonction f est définie sur l'intervalle des x tel que \(\displaystyle{u\left(x\right) \geq 0}\).

L'ensemble de définition de la fonction est \(\displaystyle{D_f=\left[- \dfrac{7}{3}; +\infty\right[}\).

Méthode 2

Si l'expression donnée de la fonction comporte un quotient

Afin d'étudier une fonction comportant un quotient, il convient d'abord de déterminer son ensemble de définition.

Soit la fonction f telle que :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{1}{2x^2+4x+2}}\)

Déterminer l'ensemble de définition de f.

Etape 1

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que \(\displaystyle{\dfrac{v\left(x\right)}{u\left(x\right)}}\) est définie si et seulement si \(\displaystyle{u\left(x\right) \neq 0}\).

La fonction f est définie si et seulement \(\displaystyle{2x^2+4x+2 \neq 0}\).

Etape 2

Résoudre

On résout l'inéquation \(\displaystyle{u\left(x\right) \neq 0}\).

La fonction f est définie si et seulement si \(\displaystyle{2x^2+4x+2 \neq0}\).

On détermine les racines du trinôme du second degré.

Pour ce faire, on calcule le discriminant :

\(\displaystyle{\Delta = b^2-4ac}\)

\(\displaystyle{\Delta = 4^2-4\times 2\times 2}\)

\(\displaystyle{\Delta =0}\)

Donc le trinôme possède une racine unique que l'on calcule :

\(\displaystyle{x_0=\dfrac{-b}{2a}}\)

\(\displaystyle{x_0=\dfrac{-4}{2\times 2}}\)

\(\displaystyle{x_0=-1}\)

Donc le trinôme s'annule pour \(\displaystyle{x=-1}\).

Etape 3

Conclure sur le domaine de définition

La fonction f est définie sur l'intervalle des x tel que \(\displaystyle{u\left(x\right) \neq 0}\).

L'ensemble de définition de la fonction est donc : \(\displaystyle{D_f=\mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}}\).

Méthode 3

Si l'expression donnée de la fonction comporte à la fois une racine et un quotient

Afin d'étudier une fonction comportant une racine et un quotient, il convient d'abord de déterminer son ensemble de définition, sachant que les deux contraintes sont à prendre en compte.

Soit la fonction f telle que :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=\sqrt{2x^2-12x+16} +\dfrac{1}{7x-4}}\).

Déterminer l'ensemble de définition de f.

Etape 1

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que :

  • \(\displaystyle{\dfrac{w\left(x\right)}{v\left(x\right)}}\) est définie si et seulement si \(\displaystyle{v\left(x\right) \neq 0}\).
  • \(\displaystyle{\sqrt{u\left(x\right)}}\) est définie si et seulement si \(\displaystyle{u\left(x\right) \geq 0}\).

La fonction f est définie si et seulement si :

  • \(\displaystyle{2x^2-12x+16 \geq0}\)
  • \(\displaystyle{7x-4 \neq 0}\)
Etape 2

Déterminer les réels vérifiant la première condition

On résout l'équation \(\displaystyle{v\left(x\right) \neq 0}\) ou \(\displaystyle{v\left(x\right)=0}\) pour déterminer les éventuelles valeurs interdites.

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{7x-4 =0 }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 7x = 4}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x =\dfrac{4}{7}}\)

Etape 3

Déterminer les réels vérifiant la deuxième condition

On résout l'inéquation \(\displaystyle{v\left(x\right) \geq 0}\).

La fonction f est définie si et seulement si \(\displaystyle{x\neq\dfrac{4}{7}}\) et \(\displaystyle{2x^2-12x+16 \geq0}\).

On détermine le signe du trinôme du second degré. Pour ce faire, on calcule le discriminant :

\(\displaystyle{\Delta = b^2-4ac}\)

\(\displaystyle{\Delta = \left(-12\right)^2-4\times 2\times 16}\)

\(\displaystyle{\Delta =16}\)

Or, d'après le cours, si \(\displaystyle{\Delta \gt0}\) le trinôme est du signe de a (positif ici) sauf entre les racines.

On calcule les racines :

  • \(\displaystyle{x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{12-4}{4}= 2}\)
  • \(\displaystyle{x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{12+4}{4}= 4}\)

Donc le trinôme est positif ou nul sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; 2 \right] \cup \left[4;+\infty \right[}\).

Etape 4

Tenir compte des deux conditions simultanément

On détermine l'ensemble des réels vérifiant les deux conditions.

Ainsi, \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) existe si et seulement si \(\displaystyle{x \neq \dfrac{4}{7}}\) et \(\displaystyle{x\in \left]-\infty ; 2 \right] \cup \left[4;+\infty \right[}\)

Ces conditions sont toutes respectées si \(\displaystyle{x\in \left]-\infty ; \dfrac{4}{7} \right[ \cup \left] \dfrac{4}{7}; 2 \right] \cup \left[4;+\infty \right[}\).

Etape 5

Conclure sur le domaine de définition

La fonction f est définie sur l'ensemble des réels vérifiant les deux conditions.

Ainsi, l'ensemble de définition de la fonction est : \(\displaystyle{D_f=\left]-\infty ; \dfrac{4}{7} \right[ \cup \left] \dfrac{4}{7}; 2 \right] \cup \left[4;+\infty \right[}\).

Les fonctions usuelles rencontrées en classe de 1re sans racine ni quotient sont définies sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Chapitre 3 Les fonctions de référence
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