Jean vient chercher Jacques tous les matins entre 7 h 02 et 7 h 22 afin de l'emmener au travail. Jacques est prêt tous les matins à 7 h. On suppose que la variable X, donnant la durée moyenne en minutes d'attente de Jacques, suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[2 ; 22\right].
Quelle proposition correspond à l'expression d'une densité de la variable aléatoire X ?
D'après le cours, on sait que la loi uniforme sur \left[ a;b \right] admet pour fonction de densité la fonction f telle que :
\begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{b-a} \;si \; x \in\left[ a;b \right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ a;b \right] \end{cases}
Or ici, X suit la loi uniforme sur \left[2; 22\right].
On en déduit que la fonction suivante est une densité de X :
\begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{22-2} \;si \; x \in\left[ 2;22 \right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ 2;22 \right] \end{cases}
La fonction suivante est une densité de X : \begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{20} \;si \; x \in\left[ 2;22 \right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ 2;22 \right] \end{cases}
Quelle est la probabilité que Jacques attende Jean moins de 10 minutes ?
La probabilité que Jacques attende Jean moins de 10 minutes est P\left(X\lt 10\right).
Or on sait que :
P\left(X\lt 10\right)=P\left(X\leq 10\right) = P\left(2 \leq X\leq 10\right) = \int_2^{10} f\left(x\right)dx
Ainsi :
P\left(X\lt 10\right)= \int_2^{10} \dfrac{1}{20}dx
P\left(X\lt 10\right) = \left[ \dfrac{x}{20} \right]_2^{10}
P\left(X\lt 10\right) = \dfrac{10}{20} -\dfrac{2}{20}
P\left(X\lt 10\right) = \dfrac{2}{5}
La probabilité que Jacques attende Jean moins de 10 minutes vaut \dfrac{2}{5}.
Quelle est la probabilité que Jacques attende Jean plus de 15 minutes ?
La probabilité que Jacques attende plus de 15 minutes est P\left(X\gt 15\right).
Or on sait que :
P\left(X\gt 15\right)=P\left(X\geq 15\right) = P\left(15\leq X\leq 22\right) = \int_{15}^{22} f\left(x\right)dx
On obtient :
P\left(X\gt 15\right)= \int_{15}^{22} \dfrac{1}{20}dx
P\left(X\gt 15\right)= \left[ \dfrac{x}{20} \right] _{15}^{22}
P\left(X\gt 15\right) =\dfrac{22}{20} - \dfrac{15}{20}
P\left(X\gt 15\right) =\dfrac{7}{20}
La probabilité que Jacques attende Jean plus de 15 minutes vaut \dfrac{7}{20}.
Quel est le temps moyen d'attente de Jacques ?
Le temps moyen d'attente de Jacques est l'espérance E\left(X\right) de la variable aléatoire X.
Or, d'après le cours, on sait que l'espérance E\left(X\right) de la variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur l'intervalle \left[ a;b \right] est :
E\left(X\right) = \dfrac{a+b}{2}
Ici, X est la variable suivant la loi uniforme sur l'intervalle \left[ 2;22 \right].
On en déduit que :
E\left(X\right) = \dfrac{2+22}{2}
E\left(X\right) = 12
Jacques attendra Jean en moyenne 12 minutes.