On suppose que la variable X donnant le temps d'attente en minutes d'un usager à un arrêt de bus suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[0 ; 25\right]. L'usager arrive tous les jours à 8 h à cet arrêt de bus.
Quelle proposition correspond à l'expression d'une densité de la variable aléatoire X ?
D'après le cours, on sait que la loi uniforme sur \left[ a;b \right] admet pour fonction de densité la fonction f telle que :
\begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{b-a} \;si \; x \in\left[ a;b \right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ a;b \right] \end{cases}
Or ici, X suit la loi uniforme sur \left[0;25 \right].
On en déduit que la fonction suivante est une densité de X :
\begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{25-0} \;si \; x \in\left[ 0;25 \right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ 0;25 \right] \end{cases}
La fonction suivante est une densité de X : \begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{25} \;si \; x \in\left[ 0;25 \right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ 0;25 \right] \end{cases}
Quelle est la probabilité que le bus passe avant 8 h 20 ?
Le bus passe avant 8 h 20 si et seulement si l'usager doit attendre moins de 20 minutes.
La probabilité que l'usager doive attendre moins de 20 minutes est P\left(X\lt 20\right).
Or on sait que :
P\left(X\lt 20\right)=P\left(X\leq 20\right) = P\left(0 \leq X\leq 20\right) = \int_0^{20} f\left(x\right)dx
Ainsi :
P\left(X\lt 20\right) = \int_0^{20} \dfrac{1}{25}dx
P\left(X\lt 20\right)= \left[ \dfrac{x}{25} \right]_0^{20}
P\left(X\lt 20\right) = \dfrac{20}{25} -\dfrac{0}{25}
P\left(X\lt 20\right) = \dfrac{4}{5}
La probabilité que le bus passe avant 8 h 20 vaut \dfrac{4}{5}.
Quelle est la probabilité que le bus passe entre 8 h 10 et 8 h 12 ?
Le bus passe entre 8 h 10 et 8 h 12 si et seulement si l'usager attend entre 10 et 12 minutes.
La probabilité que l'usager attende entre 10 et 12 minutes est P\left(10 \leq X\leq 12\right).
On obtient :
P\left(10\leq X\leq 12\right) = \int_{10}^{12} f\left(x\right)dx
P\left(10\leq X\leq 12\right) = \left[ \dfrac{x}{25} \right] _{10}^{12}
P\left(10\leq X\leq 12\right)=\dfrac{12}{25} - \dfrac{10}{25}
P\left(10\leq X\leq 12\right)=\dfrac{2}{25}
La probabilité que le bus passe entre 8 h 10 et 8 h 12 vaut \dfrac{2}{25}.
Quel est le temps moyen d'attente de l'usager à l'arrêt de bus ?
Le temps moyen d'attente de l'usager est l'espérance E\left(X\right) de la variable aléatoire X.
Or, d'après le cours, on sait que l'espérance E\left(X\right) de la variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur l'intervalle \left[ a;b \right] est :
E\left(X\right) = \dfrac{a+b}{2}
Ici, X est la variable suivant la loi uniforme sur l'intervalle \left[ 0;25 \right].
On en déduit que :
E\left(X\right) = \dfrac{0+25}{2}
E\left(X\right) = \dfrac{25}{2}
L'usager attendra en moyenne 12 mn et 30 s son bus.