À partir de 8 h du matin, des bus passent toutes les 15 minutes à un arrêt donné.
Un usager se présente entre 8 h et 8 h 30 à cet arrêt. On suppose que la variable X donnant l'heure exacte de son arrivée à l'arrêt suit la loi uniforme sur \left[ 0;30 \right].
Quelle proposition correspond à l'expression d'une densité de la variable aléatoire X ?
D'après le cours, on sait que la loi uniforme sur \left[ a;b \right] a pour fonction de densité la fonction f telle que :
\begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{b-a} \;si \; x \in\left[ a;b \right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ a;b \right] \end{cases}
Or ici, X suit la loi uniforme sur \left[0;30 \right].
On en déduit que la fonction suivante est une densité de X :
\begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{30-0} \;si \; x \in\left[ 0;30\right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ 0;30 \right] \end{cases}
La fonction suivante est une densité de X : \begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{30} \;si \; x \in\left[ 0;30\right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ 0;30 \right] \end{cases}
Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de 10 minutes ?
L'attente sera inférieure à 10 minutes si l'usager se présente à l'arrêt entre 8 h 05 et 8 h 15 ou entre 8 h 20 et 8 h 30.
La probabilité que l'usager doive attendre moins de 10 minutes est donc P\left(5 \leq X\leq 15 \right) + P\left(20 \leq X\leq 30\right).
Or on sait que :
P\left(5 \leq X\leq 15 \right) + P\left(20 \leq X\leq 30\right) = \int_5^{15} f\left(x\right)dx + \int_{20}^{30} f\left(x\right)dx
Ainsi :
P\left(5 \leq X\leq 15 \right) + P\left(20 \leq X\leq 30\right) = \int_5^{15} \dfrac{1}{30}dx + \int_{20}^{30} \dfrac{1}{30}dx
P\left(5 \leq X\leq 15 \right) + P\left(20 \leq X\leq 30\right) = \left[ \dfrac{x}{30} \right]_5^{15}+\left[ \dfrac{x}{30} \right]_{20}^{30}
P\left(5 \leq X\leq 15 \right) + P\left(20 \leq X\leq 30\right) = \dfrac{15}{30} -\dfrac{5}{30}+ \dfrac{30}{30} -\dfrac{20}{30}
P\left(5 \leq X\leq 15 \right) + P\left(20 \leq X\leq 30\right) = \dfrac{2}{3}
La probabilité que l'usager attende moins de 10 minutes vaut \dfrac{2}{3}.
Quelle est la probabilité que l'usager attende au moins 7 minutes ?
L'usager attendra au moins 7 minutes s'il arrive entre 8 h et 8 h 08 ou entre 8 h 15 et 8 h 23.
La probabilité que l'usager attende au moins 7 minutes est P\left(0 \leq X\leq 8\right)+P\left(15 \leq X\leq 23\right).
On obtient :
P\left(0 \leq X\leq 8\right)+P\left(15 \leq X\leq 23\right) = \int_{0}^{8} f\left(x\right)dx + \int_{15}^{23} f\left(x\right)dx
P\left(0 \leq X\leq 8\right)+P\left(15 \leq X\leq 23\right) = \left[ \dfrac{x}{30} \right] _{0}^{8}+\left[ \dfrac{x}{30} \right] _{15}^{23}
. P\left(0 \leq X\leq 8\right)+P\left(15 \leq X\leq 23\right) = \dfrac{8}{30} - \dfrac{0}{30} + \dfrac{23}{30} - \dfrac{15}{30}
P\left(0 \leq X\leq 8\right)+P\left(15 \leq X\leq 23\right) = \dfrac{8}{15}
La probabilité que l'usager attende au moins 7 minutes vaut \dfrac{8}{15}.
Quel est le temps moyen d'attente de l'usager à l'arrêt de bus ?
Le temps moyen d'attente de l'usager varie entre 0 et 15 minutes.
On appelle T la variable aléatoire donnant le temps d'attente moyen de l'usager à l'arrêt de bus. Cette variable aléatoire suit la loi uniforme sur \left[ 0 ; 15 \right].
Le temps moyen d'attente de l'usager est l'espérance E\left(T\right) de la variable aléatoire T.
Or, d'après le cours, on sait que l'espérance E\left(T\right) de la variable aléatoire T suivant la loi uniforme sur l'intervalle \left[ a;b \right] est :
E\left(X\right) = \dfrac{a+b}{2}
Ici, T est la variable suivant la loi uniforme sur l'intervalle \left[ 0;15 \right].
On en déduit que :
E\left(X\right) = \dfrac{0+15}{2}
E\left(X\right) = \dfrac{15}{2}
L'usager attendra en moyenne 7 mn et 30 s son bus.