On suppose que la variable X donnant le temps d'attente en minutes d'un usager d'un train à la gare suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[0 ; 50\right]. L'usager arrive tous les jours à 9 h à la gare.
Quelle proposition correspond à l'expression d'une densité de la variable aléatoire X ?
D'après le cours, on sait que la loi uniforme sur \left[ a;b \right] admet comme densité la fonction f telle que :
\begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{b-a} \;si \; x \in\left[ a;b \right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ a;b \right] \end{cases}
Or ici, X suit la loi uniforme sur \left[0;50\right].
On en déduit que la fonction suivante est une densité de X :
\begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{50-0} \;si \; x \in\left[ 0;50\right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ 0;50 \right] \end{cases}
La fonction suivante est une densité de X : \begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{50} \;si \; x \in\left[ 0;50\right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ 0;50 \right] \end{cases}
Quelle est la probabilité que le train passe avant 9 h 20 ?
Le train passe avant 9 h 20 si et seulement si l'usager doit attendre moins de 20 minutes.
La probabilité que l'usager doive attendre moins de 20 minutes est P\left(X\lt 20\right).
Or on sait que :
P\left(X\lt 20\right)=P\left(X\leq 20\right) = P\left(0 \leq X\leq 20\right) = \int_0^{20} f\left(x\right)dx
Ainsi :
P\left(X\lt 20\right)= \int_0^{20} \dfrac{1}{50}dx
P\left(X\lt 20\right)= \left[ \dfrac{x}{50} \right]_0^{20}
P\left(X\lt 20\right)= \dfrac{20}{50} -\dfrac{0}{50}
P\left(X\lt 20\right)= \dfrac{2}{5}
La probabilité que le train passe avant 9 h 20 vaut \dfrac{2}{5}.
Quelle est la probabilité que le train passe entre 9 h 25 et 9 h 35 ?
Le train passe entre 9 h 25 et 9 h 35 si et seulement si l'usager attend entre 25 et 35 minutes.
La probabilité que l'usager attende entre 25 et 35 minutes est P\left(25 \leq X\leq 35\right).
On obtient :
P\left(25 \leq X\leq 35\right) = \int_{25}^{35} f\left(x\right)dx
P\left(25\leq X\leq 35\right) = \left[ \dfrac{x}{50} \right] _{25}^{35}
P\left(25\leq X\leq 35\right)=\dfrac{35}{50} - \dfrac{25}{50}
P\left(25\leq X\leq 35\right)=\dfrac{1}{5}
La probabilité que le train passe entre 9 h 25 et 9 h 35 vaut \dfrac{1}{5}.
Quel est le temps moyen d'attente de l'usager à la gare ?
Le temps moyen d'attente de l'usager est l'espérance E\left(X\right) de la variable aléatoire X.
Or, d'après le cours, on sait que l'espérance E\left(X\right) de la variable aléatoire X suivant la loi uniforme sur l'intervalle \left[ a;b \right] est :
E\left(X\right) = \dfrac{a+b}{2}
Ici, X est la variable suivant la loi uniforme sur l'intervalle \left[ 0;50\right].
On en déduit que :
E\left(X\right) = \dfrac{0+50}{2}
E\left(X\right) = 25
L'usager attendra en moyenne 25 mn son train.