À partir de 9 h du matin, des trains passent toutes les 30 minutes dans une gare donnée.
Un usager se présente entre 9 h et 10 h à cet arrêt. On suppose que la variable X donnant l'heure exacte de son arrivée suit la loi uniforme sur \left[ 0;60 \right].
Quelle est l'expression de la fonction de densité de la variable aléatoire X ?
D'après le cours, on sait que la loi uniforme sur \left[ a;b \right] a pour fonction de densité la fonction f telle que :
\begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{b-a} \;si \; x \in\left[ a;b \right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ a;b \right] \end{cases}
Or ici, X suit la loi uniforme sur \left[0;60 \right].
On en déduit que la fonction suivante est une densité de X :
\begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{60-0} \;si \; x \in\left[ 0;60\right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ 0;60 \right] \end{cases}
La fonction suivante est une densité de X : \begin{cases} f\left(x\right) = \dfrac{1}{60} \;si \; x \in\left[ 0;60\right]\cr \cr f\left(x\right) = 0 \;si \; x \notin\left[ 0;60 \right] \end{cases}
Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de 10 minutes ?
L'attente sera inférieure à 10 minutes si l'usager se présente à l'arrêt entre 9 h 20 et 9 h 30 ou entre 9 h 50 et 10 h.
La probabilité que l'usager doive attendre moins de 10 minutes est donc P\left(20 \leq X\leq 30\right) + P\left(50\leq X\leq 60\right).
Or on sait que :
P\left(20 \leq X\leq 30\right) + P\left(50 \leq X\leq 60\right) = \int_{20}^{30} f\left(x\right)dx + \int_{50}^{60} f\left(x\right)dx
Ainsi :
P\left(20 \leq X\leq 30\right) + P\left(50 \leq X\leq 60\right) = \int_{20}^{30} \dfrac{1}{60}dx + \int_{50}^{60} \dfrac{1}{60}dx
P\left(20 \leq X\leq 30\right) + P\left(50\leq X\leq 60\right) = \left[ \dfrac{x}{60} \right]_{20}^{30}+\left[ \dfrac{x}{60} \right]_{50}^{60}
P\left(20 \leq X\leq 30 \right) + P\left(50\leq X\leq 60\right) = \dfrac{30}{60} -\dfrac{20}{60}+ \dfrac{60}{60} -\dfrac{50}{60}
P\left(20 \leq X\leq 30 \right) + P\left(50\leq X\leq 60\right) = \dfrac{1}{3}
La probabilité que l'usager attende moins de 10 minutes vaut \dfrac{1}{3}.
Quelle est la probabilité que l'usager attende au moins 15 minutes ?
L'usager attendra au moins 15 minutes s'il arrive entre 9 h et 9 h 15 ou entre 9 h 30 et 9 h 45.
La probabilité que l'usager attende plus de 15 minutes est P\left(0 \leq X\leq 15\right)+P\left(30\leq X\leq 45\right).
On obtient :
P\left(0 \leq X\leq 15\right)+P\left(30\leq X\leq 45\right) = \int_{0}^{15} f\left(x\right)dx + \int_{30}^{45} f\left(x\right)dx
P\left(0 \leq X\leq 15\right)+P\left(30\leq X\leq 45\right) = \left[ \dfrac{x}{60} \right] _{0}^{15}+\left[ \dfrac{x}{60} \right] _{30}^{45}
. P\left(0 \leq X\leq 15\right)+P\left(30\leq X\leq 45\right) = \dfrac{15}{60} - \dfrac{0}{60} + \dfrac{45}{60} - \dfrac{30}{30}
P\left(0 \leq X\leq 15\right)+P\left(30\leq X\leq 45\right) = \dfrac{1}{2}
La probabilité que l'usager attende plus de 15 minutes vaut \dfrac{1}{2}.
Quel est le temps moyen d'attente de l'usager à la gare ?
Le temps moyen d'attente de l'usager varie entre 0 et 30 minutes.
On appelle T la variable aléatoire donnant le temps d'attente moyen de l'usager à la gare. Cette variable aléatoire suit la loi uniforme sur \left[ 0 ; 30\right].
Le temps moyen d'attente de l'usager est l'espérance E\left(T\right) de la variable aléatoire T.
Or, d'après le cours, on sait que l'espérance E\left(T\right) de la variable aléatoire T suivant la loi uniforme sur l'intervalle \left[ a;b \right] est :
E\left(X\right) = \dfrac{a+b}{2}
Ici, T est la variable suivant la loi uniforme sur l'intervalle \left[ 0;30\right].
On en déduit que :
E\left(X\right) = \dfrac{0+30}{2}
E\left(X\right) = 15
L'usager attendra en moyenne 15 minutes son train.