Existence et représentation graphique
Le domaine de définition
Domaine de définition
Le domaine de définition D_{f} d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f\left(x\right) existe.
L'ensemble de définition de la fonction f définie par f\left(x\right)=3x^5+5x^3-1 est D_f=\mathbb{R}.
La courbe représentative
Courbe représentative
La courbe représentative C_{f} d'une fonction f dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right), pour tous les réels x du domaine de définition de f.
Résolutions graphiques
Signe d'une fonction
Fonction positive
Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \geq 0
Une fonction est positive sur I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle I.
La fonction représentée ci-dessous est positive sur l'intervalle \left[0 ; 2\right].
Fonction négative
Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \leq0
Une fonction est négative sur I si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle I.
La fonction représentée ci-dessous est négative sur l'intervalle \left[0 ; 2\right].
Résolutions d'équations et inéquations
Résolution graphique d'une équation de la forme f\left(x\right)=k
Soit f une fonction continue sur I, C_f sa courbe représentative dans un repère, et k un réel fixé.
Les solutions de l'équation f\left(x\right)=k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe C_f avec la droite "horizontale" d'équation y=k.
Les solutions de l'équation f\left(x\right)=k sont les réels x_1, x_2, x_3 et x_4.
Résolution graphique d'une inéquation de la forme f\left(x\right)\geq k
Soit f une fonction continue sur I, C_f sa courbe représentative dans un repère, et k un réel fixé.
Les solutions de l'inéquation f\left(x\right)\geq k sont les abscisses des points de la courbe C_f situés au-dessus de la droite "horizontale" d'équation y=k.
Les solutions de l'inéquation f\left(x\right)\geq k sont les réels appartenant à \left[x_1;x_2\right]\cup\left[x_3;x_4\right].
Comportement
Le sens de variation
Fonction croissante
Une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \leq f\left(y\right)
Fonction strictement croissante
Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \lt f\left(y\right)
Fonction décroissante
Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \geq f\left(y\right)
Fonction strictement décroissante
Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \gt f\left(y\right)
Fonction constante
Une fonction f est constante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I et s'il existe un réel a tel que, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) = a
Signe de la dérivée
Sens de variation
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
- Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
- Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.
Stricte monotonie
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
- si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
Les extremums
Maximum
Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus grand réel f\left(x\right) sur I, s'il existe.
La fonction représentée ci-dessous admet un maximum sur l'intervalle \left[0 ; 2\right]. Ce maximum vaut 0,5 et est atteint pour x=1,25.
Minimum
Le minimum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus petit réel f\left(x\right) sur I, s'il existe.
La fonction représentée ci-dessous admet un minimum sur l'intervalle \left[0 ; 2\right]. Ce minimum vaut 0,25 et est atteint pour x=0,75.
Un extremum est un maximum ou un minimum.
Opérations et variations
Sens de variation de f+g
Si deux fonctions f et g ont le même sens de variation sur l'intervalle I, la fonction h=f + g possède également le même sens de variation sur I.
Soient les fonctions f et g définies sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^2 et g\left(x\right)=x^3. On définit sur \mathbb{R} la fonction h par h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)=x^2+x^3.
f et g sont toutes les deux croissantes sur \left[0;+\infty\right[. Ainsi, h est également croissante sur \left[0;+\infty\right[.
Sens de variation de kf avec k\gt0
Soit k un réel strictement positif et soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}.
La fonction kf possède le même sens de variation que la fonction f sur l'intervalle I.
La fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2 est croissante sur \left[0;+\infty\right[. Ainsi, la fonction g définie pour tout réel x par g\left(x\right)=3f\left(x\right)=3x^2 est également croissante sur \left[0;+\infty\right[ (car 3\gt0 ).
Sens de variation de kf avec k\lt0
Soit k un réel strictement négatif et soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}.
La fonction kf possède le sens de variation contraire à celui de la fonction f sur l'intervalle I.
La fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2 est croissante sur \left[0;+\infty\right[. Ainsi, la fonction g définie pour tout réel x par g\left(x\right)=-5f\left(x\right)=-5x^2 est décroissante sur \left[0;+\infty\right[ (car -5\lt0 ).