Sommaire
IExistence et représentation graphiqueALe domaine de définitionBLa courbe représentativeCRésolutions graphiques1Signe d'une fonction2Résolutions d'équations et inéquationsIIComportementALe sens de variationBSigne de la dérivéeCLes extremumsDOpérations et variationsExistence et représentation graphique
Le domaine de définition
Domaine de définition
Le domaine de définition D_{f} d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f\left(x\right) existe.
L'ensemble de définition de la fonction f définie par f\left(x\right)=3x^5+5x^3-1 est D_f=\mathbb{R}.
Résolutions graphiques
Signe d'une fonction
Fonction positive
Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \geq 0
Fonction négative
Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \leq0
Résolutions d'équations et inéquations
Résolution graphique d'une équation de la forme f\left(x\right)=k
Soit f une fonction continue sur I, C_f sa courbe représentative dans un repère, et k un réel fixé.
Les solutions de l'équation f\left(x\right)=k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe C_f avec la droite "horizontale" d'équation y=k.
Résolution graphique d'une inéquation de la forme f\left(x\right)\geq k
Soit f une fonction continue sur I, C_f sa courbe représentative dans un repère, et k un réel fixé.
Les solutions de l'inéquation f\left(x\right)\geq k sont les abscisses des points de la courbe C_f situés au-dessus de la droite "horizontale" d'équation y=k.
Comportement
Le sens de variation
Fonction strictement croissante
Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \lt f\left(y\right)
Fonction strictement décroissante
Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \gt f\left(y\right)
Signe de la dérivée
Sens de variation
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
- Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
- Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.
Stricte monotonie
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
- si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
Les extremums
Un extremum est un maximum ou un minimum.
Opérations et variations
Sens de variation de f+g
Si deux fonctions f et g ont le même sens de variation sur l'intervalle I, la fonction h=f + g possède également le même sens de variation sur I.
Soient les fonctions f et g définies sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^2 et g\left(x\right)=x^3. On définit sur \mathbb{R} la fonction h par h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)=x^2+x^3.
f et g sont toutes les deux croissantes sur \left[0;+\infty\right[. Ainsi, h est également croissante sur \left[0;+\infty\right[.
Sens de variation de kf avec k\gt0
Soit k un réel strictement positif et soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}.
La fonction kf possède le même sens de variation que la fonction f sur l'intervalle I.
La fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2 est croissante sur \left[0;+\infty\right[. Ainsi, la fonction g définie pour tout réel x par g\left(x\right)=3f\left(x\right)=3x^2 est également croissante sur \left[0;+\infty\right[ (car 3\gt0 ).
Sens de variation de kf avec k\lt0
Soit k un réel strictement négatif et soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}.
La fonction kf possède le sens de variation contraire à celui de la fonction f sur l'intervalle I.
La fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2 est croissante sur \left[0;+\infty\right[. Ainsi, la fonction g définie pour tout réel x par g\left(x\right)=-5f\left(x\right)=-5x^2 est décroissante sur \left[0;+\infty\right[ (car -5\lt0 ).