Etude de fonctions Cours

Sommaire

IExistence et représentation graphiqueALe domaine de définitionBLa courbe représentativeCRésolutions graphiques1Signe d'une fonction2Résolutions d'équations et inéquationsIIComportementALe sens de variationBSigne de la dérivéeCLes extremumsDOpérations et variations
I

Existence et représentation graphique

A

Le domaine de définition

Domaine de définition

Le domaine de définition D_{f} d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f\left(x\right) existe.

L'ensemble de définition de la fonction f définie par f\left(x\right)=3x^5+5x^3-1 est D_f=\mathbb{R}.

B

La courbe représentative

Courbe représentative

La courbe représentative C_{f} d'une fonction f dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right), pour tous les réels x du domaine de définition de f.

-
C

Résolutions graphiques

1

Signe d'une fonction

Fonction positive

Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :

f\left(x\right) \geq 0

Une fonction est positive sur I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle I.

La fonction représentée ci-dessous est positive sur l'intervalle \left[0 ; 2\right].

-
Fonction négative

Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :

f\left(x\right) \leq0

Une fonction est négative sur I si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle I.

La fonction représentée ci-dessous est négative sur l'intervalle \left[0 ; 2\right].

-
2

Résolutions d'équations et inéquations

Résolution graphique d'une équation de la forme f\left(x\right)=k

Soit f une fonction continue sur I, C_f sa courbe représentative dans un repère, et k un réel fixé.

Les solutions de l'équation f\left(x\right)=k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe C_f avec la droite "horizontale" d'équation y=k.

-

Les solutions de l'équation f\left(x\right)=k sont les réels x_1, x_2, x_3 et x_4.

Résolution graphique d'une inéquation de la forme f\left(x\right)\geq k

Soit f une fonction continue sur I, C_f sa courbe représentative dans un repère, et k un réel fixé.

Les solutions de l'inéquation f\left(x\right)\geq k sont les abscisses des points de la courbe C_f situés au-dessus de la droite "horizontale" d'équation y=k.

-

Les solutions de l'inéquation f\left(x\right)\geq k sont les réels appartenant à \left[x_1;x_2\right]\cup\left[x_3;x_4\right].

II

Comportement

A

Le sens de variation

Fonction croissante

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :

f\left(x\right) \leq f\left(y\right)

-

Fonction strictement croissante

Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :

f\left(x\right) \lt f\left(y\right)

Fonction décroissante

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :

f\left(x\right) \geq f\left(y\right)

-

Fonction strictement décroissante

Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :

f\left(x\right) \gt f\left(y\right)

Fonction constante

Une fonction f est constante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I et s'il existe un réel a tel que, pour tout réel x de I :

f\left(x\right) = a

-
B

Signe de la dérivée

Sens de variation

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
  • Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
  • Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Stricte monotonie

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
  • si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
C

Les extremums

Maximum

Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus grand réel f\left(x\right) sur I, s'il existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un maximum sur l'intervalle \left[0 ; 2\right]. Ce maximum vaut 0,5 et est atteint pour x=1,25.

-

Minimum

Le minimum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus petit réel f\left(x\right) sur I, s'il existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un minimum sur l'intervalle \left[0 ; 2\right]. Ce minimum vaut 0,25 et est atteint pour x=0,75.

-

Un extremum est un maximum ou un minimum.

D

Opérations et variations

Sens de variation de f+g

Si deux fonctions f et g ont le même sens de variation sur l'intervalle I, la fonction h=f + g possède également le même sens de variation sur I.

Soient les fonctions f et g définies sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^2 et g\left(x\right)=x^3. On définit sur \mathbb{R} la fonction h par h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)=x^2+x^3.

f et g sont toutes les deux croissantes sur \left[0;+\infty\right[. Ainsi, h est également croissante sur \left[0;+\infty\right[.

Sens de variation de kf avec k\gt0

Soit k un réel strictement positif et soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}.
La fonction kf possède le même sens de variation que la fonction f sur l'intervalle I.

La fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2 est croissante sur \left[0;+\infty\right[. Ainsi, la fonction g définie pour tout réel x par g\left(x\right)=3f\left(x\right)=3x^2 est également croissante sur \left[0;+\infty\right[ (car 3\gt0 ).

Sens de variation de kf avec k\lt0

Soit k un réel strictement négatif et soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}.
La fonction kf possède le sens de variation contraire à celui de la fonction f sur l'intervalle I.

La fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2 est croissante sur \left[0;+\infty\right[. Ainsi, la fonction g définie pour tout réel x par g\left(x\right)=-5f\left(x\right)=-5x^2 est décroissante sur \left[0;+\infty\right[ (car -5\lt0 ).