Sommaire
IExistence et représentation graphiqueALe domaine de définitionBLa courbe représentativeCRésolutions graphiques1Signe d'une fonction2Résolutions d'équations et inéquationsIIComportementALe sens de variationBSigne de la dérivéeCLes extremumsDOpérations et variationsExistence et représentation graphique
Le domaine de définition
Domaine de définition
Le domaine de définition D_{f} d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f\left(x\right) existe.
L'ensemble de définition de la fonction f définie par f\left(x\right)=3x^5+5x^3-1 est D_f=\mathbb{R}.
La courbe représentative
Courbe représentative
La courbe représentative C_{f} d'une fonction f dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right), pour tous les réels x du domaine de définition de f.
Résolutions graphiques
Signe d'une fonction
Fonction positive
Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \geq 0
Une fonction est positive sur I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle I.
La fonction représentée ci-dessous est positive sur l'intervalle \left[0 ; 2\right].
Fonction négative
Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) \leq0
Une fonction est négative sur I si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses pour tout réel de l'intervalle I.
La fonction représentée ci-dessous est négative sur l'intervalle \left[0 ; 2\right].
Résolutions d'équations et inéquations
Résolution graphique d'une équation de la forme f\left(x\right)=k
Soit f une fonction continue sur I, C_f sa courbe représentative dans un repère, et k un réel fixé.
Les solutions de l'équation f\left(x\right)=k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe C_f avec la droite "horizontale" d'équation y=k.
Les solutions de l'équation f\left(x\right)=k sont les réels x_1, x_2, x_3 et x_4.
Résolution graphique d'une inéquation de la forme f\left(x\right)\geq k
Soit f une fonction continue sur I, C_f sa courbe représentative dans un repère, et k un réel fixé.
Les solutions de l'inéquation f\left(x\right)\geq k sont les abscisses des points de la courbe C_f situés au-dessus de la droite "horizontale" d'équation y=k.
Les solutions de l'inéquation f\left(x\right)\geq k sont les réels appartenant à \left[x_1;x_2\right]\cup\left[x_3;x_4\right].
Comportement
Le sens de variation
Fonction croissante
Une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \leq f\left(y\right)
Fonction strictement croissante
Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \lt f\left(y\right)
Fonction décroissante
Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \geq f\left(y\right)
Fonction strictement décroissante
Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :
f\left(x\right) \gt f\left(y\right)
Fonction constante
Une fonction f est constante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I et s'il existe un réel a tel que, pour tout réel x de I :
f\left(x\right) = a
Signe de la dérivée
Sens de variation
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
- Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
- Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.
Stricte monotonie
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :
- si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
- si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
Les extremums
Maximum
Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus grand réel f\left(x\right) sur I, s'il existe.
La fonction représentée ci-dessous admet un maximum sur l'intervalle \left[0 ; 2\right]. Ce maximum vaut 0,5 et est atteint pour x=1,25.
Minimum
Le minimum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus petit réel f\left(x\right) sur I, s'il existe.
La fonction représentée ci-dessous admet un minimum sur l'intervalle \left[0 ; 2\right]. Ce minimum vaut 0,25 et est atteint pour x=0,75.
Un extremum est un maximum ou un minimum.
Opérations et variations
Sens de variation de f+g
Si deux fonctions f et g ont le même sens de variation sur l'intervalle I, la fonction h=f + g possède également le même sens de variation sur I.
Soient les fonctions f et g définies sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^2 et g\left(x\right)=x^3. On définit sur \mathbb{R} la fonction h par h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)=x^2+x^3.
f et g sont toutes les deux croissantes sur \left[0;+\infty\right[. Ainsi, h est également croissante sur \left[0;+\infty\right[.
Sens de variation de kf avec k\gt0
Soit k un réel strictement positif et soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}.
La fonction kf possède le même sens de variation que la fonction f sur l'intervalle I.
La fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2 est croissante sur \left[0;+\infty\right[. Ainsi, la fonction g définie pour tout réel x par g\left(x\right)=3f\left(x\right)=3x^2 est également croissante sur \left[0;+\infty\right[ (car 3\gt0 ).
Sens de variation de kf avec k\lt0
Soit k un réel strictement négatif et soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R}.
La fonction kf possède le sens de variation contraire à celui de la fonction f sur l'intervalle I.
La fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2 est croissante sur \left[0;+\infty\right[. Ainsi, la fonction g définie pour tout réel x par g\left(x\right)=-5f\left(x\right)=-5x^2 est décroissante sur \left[0;+\infty\right[ (car -5\lt0 ).