Réaliser une étude de fonctionMéthode

L'étude d'une fonction f est une composante incontournable d'un problème. Selon l'énoncé, le nombre de questions intermédiaires peut varier, c'est pourquoi il faut être capable de dérouler par soi-même toutes les étapes de l'étude. L'objectif est de dresser le tableau de variations complet d'une fonction.

Etudier les variations de la fonction f définie par :

\forall x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = \dfrac{x-1}{e^x}

Etape 1

Rappeler le domaine de définition de f

L'étude d'une fonction est restreinte à son domaine de définition, il est donc important de déterminer celui-ci.

La fonction f est définie sur \mathbb{R}.

Etape 2

Calculer les limites aux bornes

On calcule les limites de f aux bornes ouvertes de son ensemble de définition.

On doit déterminer les limites de f en -\infty et +\infty.

On a :

  • \lim\limits_{x \to -\infty} x-1 = -\infty
  • \lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0^+

On en déduit, par quotient :

\lim\limits_{x \to -\infty} f\left(x\right) = -\infty

En +\infty, il s'agit d'une forme indéterminée. On transforme l'expression :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = \dfrac{x}{e^x} - \dfrac{1}{e^x}

On a :

  • \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{e^x} =0^+ (croissances comparées)
  • \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{e^x} =0^+

On en déduit, par somme :

\lim\limits_{x \to +\infty} f\left(x\right) = 0

Etape 3

Dériver f

On calcule la dérivée de f et on simplifie l'expression.

La fonction est dérivable sur \mathbb{R} en tant que quotient de fonctions dérivables sur \mathbb{R} dont le dénominateur ne s'annule pas.

On remarque que f = \dfrac{u}{v} avec,

  • \forall x \in \mathbb{R}, u\left(x\right) = x-1
  • \forall x \in \mathbb{R}, v\left(x\right) = e^x

On en déduit que :

f' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Avec :

  • \forall x \in \mathbb{R}, u'\left(x\right) = 1
  • \forall x \in \mathbb{R}, v'\left(x\right) = e^x

On obtient :

\forall x \in \mathbb{R}, f' \left(x\right)= \dfrac{e^x-\left(x-1\right)e^x}{\left(e^x\right)^2}

\forall x \in \mathbb{R}, f' \left(x\right)= \dfrac{e^x\left(1-x+1\right)}{\left(e^x\right)^2}

Finalement :

\forall x \in \mathbb{R}, f' \left(x\right)= \dfrac{2-x}{e^x}

Etape 4

Etudier le signe de f'

On étudie le signe de f'\left(x\right), en utilisant éventuellement un tableau de signes.

On étudie le signe de la dérivée, en étudiant séparément le signe du numérateur et le signe du dénominateur :

  • \forall x\in\mathbb{R}, e^x\gt0
  • Soit x\in\mathbb{R}, 2-x \gt 0 \Leftrightarrow x\lt 2

On en déduit le signe de f'\left(x\right) :

-
Etape 5

Enoncer le lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction

On rappelle que :

  • Si f'\left(x\right) \gt 0 sur un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si f'\left(x\right) \lt 0 sur un intervalle I, alors f est strictement décroissante sur I.

D'après le cours, on sait que :

  • Si f'\left(x\right) \gt 0 sur un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si f'\left(x\right) \lt 0 sur un intervalle I, alors f est strictement décroissante sur I.

On en déduit que :

  • f est strictement croissante sur \left]-\infty ; 2 \right[.
  • f est strictement décroissante sur \left]2; +\infty \right[.
Etape 6

Calculer les extremums locaux éventuels

On calcule la valeur de f aux points où sa dérivée s'annule et change de signe.

On calcule f\left(2\right) :

f\left(2\right) =\dfrac{2-1}{e^2}

f\left(2\right) =e^{-2}

Etape 7

Dresser le tableau de variations

On synthétise ces informations dans le tableau de variations de f :

  • Le domaine de définition de f, les valeurs où sa dérivée change de signe et les éventuelles valeurs interdites
  • Le signe de f'\left(x\right)
  • Les variations de f
  • Les limites et les extremums locaux

On dresse enfin le tableau de variations de f :

-

Même si l'on connaît les étapes de l'étude de fonction par cœur, il est indispensable de lire soigneusement l'énoncé. Il faut répondre à chaque question rigoureusement, et ne pas se laisser entraîner à répondre à plusieurs questions en même temps par automatisme.

Une étude de fonction peut s'avérer longue et très calculatoire. Il est donc fortement conseillé de hiérarchiser les étapes et les calculs.