Déterminer les points d'intersection de deux courbes Méthode

Sommaire

1Énoncer la démarche 2Résoudre l'équation f\left(x\right)=g\left(x\right) 3Calculer l'image de chaque solution 4En déduire les coordonnées des points d'intersection

On cherche les points d'intersection de deux courbes représentatives C_{f} et C_{g}, c'est-à-dire l'ensemble des points du plan de coordonnées \left( x,f\left( x \right) \right) dont l'abscisse x vérifie f\left( x \right)=g\left( x \right).

Soient f et g les deux fonctions définies sur \mathbb{R} par :

f\left( x \right)=x^3+x^2+x+1

g\left( x \right)=x^3-x

Déterminer les points d'intersection des courbes représentatives C_{f} et C_{g}.

Etape 1

Énoncer la démarche

Avant de commencer la résolution, on énonce la démarche :

"Les abscisses des points d'intersection de C_f et C_g sont les solutions de l'équation f\left(x\right)=g\left(x\right)."

Les abscisses des points d'intersection de C_f et C_g sont les solutions de l'équation f\left(x\right)=g\left(x\right). On résout donc cette équation.

Etape 2

Résoudre l'équation f\left(x\right)=g\left(x\right)

On résout tout d'abord l'équation f\left( x \right)=g\left( x \right). Les solutions éventuelles de cette équation sont les abscisses des points d'intersection des courbes C_{f} et C_{g}.

On résout :

Pour tout réel x, f\left( x \right)=g\left( x \right)

\Leftrightarrow x^3+x^2+x+1=x^3-x

\Leftrightarrow x^2+2x+1=0

Or, on sait que pour tous réels a et b :

a^2+2ab+b^2=\left( a+b \right)^2

On a donc, pour tout réel x :

x^2+2x+1=0 \Leftrightarrow \left( x+1 \right)^2=0

a^2 étant nul si et seulement si a=0, on a alors :

\left( x+1 \right)^2=0\Leftrightarrow x+1 =0 \Leftrightarrow x=-1

L'équation f\left( x \right)=g\left( x \right) admet donc x=-1 pour seule solution.

Etape 3

Calculer l'image de chaque solution

Pour chaque solution x de l'équation précédente, on détermine la valeur de f\left(x \right) (ou celle de g\left(x \right) car g\left(x \right)=f\left(x \right) ). Cela donne l'ordonnée du point d'intersection de C_{f} et C_{g} d'abscisse x.

−1 est la seule solution de l'équation f\left( x \right)=g\left( x \right). On a :

f\left( -1 \right)=\left( -1 \right)^3+\left( -1 \right)^2+\left( -1 \right)+1=-1+1-1+1

Finalement :

f\left( -1 \right)=0

Etape 4

En déduire les coordonnées des points d'intersection

Les coordonnées trouvées grâce aux deux étapes précédentes sont donc les coordonnées des points d'intersection des courbes C_f et C_g.

On peut conclure que le seul point d'intersection des courbes C_{f} et C_{g} est le point de coordonnées \left( -1,0 \right).