Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = x^2 et g\left(x\right) = 2x-2
On appelle C_f la courbe représentative de la fonction f et C_g la courbe représentative de la fonction g.
Que peut-on dire de la position relative des courbes C_f et C_g sur \mathbb{R} ?
Pour étudier la position relative de C_f et C_g, on étudie le signe de f\left(x\right)-g\left(x\right).
Calcul de f\left(x\right)-g\left(x\right)
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) - g\left(x\right) = x^2-\left(2x-2\right)=x^2-2x+2
Etude du signe de f\left(x\right)-g\left(x\right)
On détermine le discriminant du trinôme du second degré :
\Delta = b^2-4ac = \left(-2\right)^2-4\times 1\times 2 = -4
\Delta \lt 0 donc le polynôme est du signe de a (c'est-à-dire positif) sur \mathbb{R}
Ainsi, \forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) - g\left(x\right) \gt 0.
Cf est au-dessus de Cg sur \mathbb{R}.
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = x^2 et g\left(x\right) = 2x+3
On appelle C_f la courbe représentative de la fonction f et C_g la courbe représentative de la fonction g.
Que peut-on dire de la position relative des courbes C_f et C_g sur \mathbb{R} ?
Pour étudier la position relative de C_f et C_g, on étudie le signe de f\left(x\right)-g\left(x\right).
Calcul de f\left(x\right)-g\left(x\right)
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) - g\left(x\right) = x^2-\left(2x+3\right)=x^2-2x-3
Etude du signe de f\left(x\right)-g\left(x\right)
On détermine le discriminant du trinôme du second degré :
\Delta = b^2-4ac = \left(-2\right)^2-4\times 1\times \left(-3\right)= 16
\Delta \gt 0 donc le polynôme est du signe de a (c'est-à-dire positif) sauf entre les racines.
On détermine les racines :
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{2-\sqrt{16}}{2} = -1
x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{2+\sqrt{16}}{2} = 3
Ainsi :
f\left(x\right) - g\left(x\right) \gt 0 sur \left]-\infty ; -1 \right[ \cup \left]3 ; +\infty \right[
f\left(x\right) - g\left(x\right) \lt 0 sur \left] -1 ; 3\right[
f\left(x\right) - g\left(x\right) = 0 pour les points d'abscisse -1 et 3.
- Cf est au-dessus de Cg sur \left]-\infty ; -1 \right[ \cup \left]3 ; +\infty \right[ .
- Cf est en dessous de Cg sur \left] -1 ; 3\right[ .
- Cf et Cg se coupent aux points d'abscisses -1 et 3.
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = x^3 et g\left(x\right) = x^2
On appelle C_f la courbe représentative de la fonction f et C_g la courbe représentative de la fonction g.
Que peut-on dire de la position relative des courbes C_f et C_g sur \mathbb{R} ?
Pour étudier la position relative de C_f et C_g, on étudie le signe de f\left(x\right)-g\left(x\right).
Calcul de f\left(x\right)-g\left(x\right)
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) - g\left(x\right) = x^3-x^2 = x^2\left(x-1\right)
Etude du signe de f\left(x\right)-g\left(x\right)
On étudie séparément le signe de chacun des membres du produit :
\begin{cases} x^2 \gt 0 \cr \cr x-1 \gt 0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x \gt 0 \; ou \; x \lt 0 \cr \cr x \gt 1 \end{cases}
On peut ainsi en déduire le tableau de signes du produit :
f\left(x\right) - g\left(x\right) \gt 0 sur \left]1; +\infty \right[
f\left(x\right) - g\left(x\right) \lt 0 sur \left] -\infty ; 0\right[ \cup \left] 0 ; 1\right[
f\left(x\right) - g\left(x\right) = 0 pour le point d'abscisse 0.
- Cf est au-dessus de Cg sur \left]1; +\infty \right[ .
- Cf est en dessous de Cg sur \left] -\infty ; 0\right[ \cup \left] 0 ; 1\right[.
- Cf et Cg se coupent au point d'abscisse 0 et au point d'abscisse 1.
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = x^3+3x et g\left(x\right) = 5x
On appelle C_f la courbe représentative de la fonction f et C_g la courbe représentative de la fonction g.
Que peut-on dire de la position relative des courbes C_f et C_g sur \mathbb{R} ?
Pour étudier la position relative de C_f et C_g, on étudie le signe de f\left(x\right)-g\left(x\right).
Calcul de f\left(x\right)-g\left(x\right)
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) - g\left(x\right) = x^3+3x-5x = x^3-2x = x\left(x^2-2\right)
Etude du signe de f\left(x\right)-g\left(x\right)
On étudie séparément le signe de chacun des membres du produit :
\begin{cases} x \gt 0 \cr \cr x^2-2 \gt 0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x \gt 0 \cr \cr x^2 \gt 2 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x \gt 0 \cr \cr x \gt \sqrt2 \; ou\; x\lt -\sqrt2 \end{cases}
On peut ainsi en déduire le tableau de signes du produit :
f\left(x\right) - g\left(x\right) \gt 0 sur \left]-\sqrt2 ; 0\right[ \cup \left]\sqrt 2; +\infty \right[
f\left(x\right) - g\left(x\right) \lt 0 sur \left] -\infty ; -\sqrt 2\right[ \cup \left] 0 ; \sqrt 2\right[
f\left(x\right) - g\left(x\right) = 0 pour les points d'abscisses -\sqrt2, 0, \sqrt 2.
- Cf est au-dessus de Cg sur \left]-\sqrt2 ; 0\right[ \cup \left]\sqrt 2; +\infty \right[.
- Cf est en dessous de Cg sur \left] -\infty ; -\sqrt 2\right[ \cup \left] 0 ; \sqrt 2\right[.
- Cf et Cg se coupent aux points d'abscisses -\sqrt2, 0, \sqrt 2.
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R}^* par :
f\left(x\right) = \dfrac{1}{x^2} et g\left(x\right) = \dfrac{1}{x}.
On appelle C_f la courbe représentative de la fonction f et C_g la courbe représentative de la fonction g
Que peut-on dire de la position relative des courbes C_f et C_g sur \mathbb{R}^* ?
Pour étudier la position relative de C_f et C_g, on étudie le signe de f\left(x\right)-g\left(x\right).
Calcul de f\left(x\right)-g\left(x\right)
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) - g\left(x\right) = \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{x}{x^2} = \dfrac{1-x}{x^2}
Etude du signe de f\left(x\right)-g\left(x\right)
Le dénominateur est un carré, le quotient est donc du signe de son numérateur.
1-x \gt 0
\Leftrightarrow x \lt 1
On peut ainsi en déduire le tableau de signes du quotient :
f\left(x\right) - g\left(x\right) \lt 0 sur \left]1; +\infty \right[
f\left(x\right) - g\left(x\right) \gt 0 sur \left] -\infty ; 0\right[ \cup \left] 0 ; 1\right[
f\left(x\right) - g\left(x\right) = 0 pour le point d'abscisse 1.
- Cf est en dessous de Cg sur \left]1; +\infty \right[ .
- Cf est au-dessus de Cg sur \left] -\infty ; 0\right[ \cup \left] 0 ; 1\right[.
- Cf et Cg se coupent au point d'abscisse 1.
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right) = 2x-6 et g\left(x\right) = \dfrac{1}{x}.
On appelle C_f la courbe représentative de la fonction f et C_g la courbe représentative de la fonction g
Que peut-on dire de la position relative des courbes C_f et C_g sur \mathbb{R} ?
Pour étudier la position relative de C_f et C_g, on étudie le signe de f\left(x\right)-g\left(x\right).
Calcul de f\left(x\right)-g\left(x\right)
\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) - g\left(x\right) = 2x-6-\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2-6x-1}{x}
Etude du signe de f\left(x\right)-g\left(x\right)
On détermine le discriminant du trinôme du second degré du numérateur :
\Delta = b^2-4ac = \left(-6\right)^2-4\times 2\times \left(-1\right)= 44
\Delta \gt 0 donc le polynôme est du signe de a (c'est-à-dire positif) sauf entre les racines.
On détermine les racines :
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{6-\sqrt{44}}{4} =\dfrac{3-\sqrt{11}}{2}
x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{6+\sqrt{44}}{4} = \dfrac{3+\sqrt{11}}{2}
On peut ainsi en déduire le tableau de signes du quotient :
f\left(x\right) - g\left(x\right) \gt 0 sur \left]\dfrac{3-\sqrt11}{2};0 \right[ \cup \left]\dfrac{3+\sqrt11}{2}; +\infty \right[
f\left(x\right) - g\left(x\right) \lt 0 sur \left] -\infty ; \dfrac{3-\sqrt11}{2} \right[ \cup \left]0; \dfrac{3+\sqrt11}{2}\right[
f\left(x\right) - g\left(x\right) = 0 pour les points d'abscisses \dfrac{3-\sqrt11}{2} et \dfrac{3+\sqrt11}{2}.
- Cf est au-dessus de Cg sur \left]\dfrac{3-\sqrt11}{2};0 \right[ \cup \left]\dfrac{3+\sqrt11}{2}; +\infty \right[ .
- Cf est en dessous de Cg sur \left] -\infty ; \dfrac{3-\sqrt11}{2} \right[ \cup \left] 0 ; \dfrac{3+\sqrt11}{2}\right[.
- Cf et Cg se coupent aux points d'abscisses \dfrac{3-\sqrt11}{2} et \dfrac{3+\sqrt11}{2}.
Soient les fonctions f et g suivantes définies sur \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{1}{2}\right\} par :
f\left(x\right) = \dfrac{x+2}{2x-1} et g\left(x\right) = \dfrac{2x+3}{2-4x}.
On appelle C_f la courbe représentative de la fonction f et C_g la courbe représentative de la fonction g
Que peut-on dire de la position relative des courbes C_f et C_g sur \mathbb{R} ?
Pour étudier la position relative de C_f et C_g, on étudie le signe de f\left(x\right)-g\left(x\right).
Calcul de f\left(x\right)-g\left(x\right)
\forall x \in \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{1}{2} \right\}, f\left(x\right) - g\left(x\right) = \dfrac{x+2}{2x-1}-\dfrac{2x+3}{2-4x} = \dfrac{-2\left(x+2\right)}{2-4x}-\dfrac{2x+3}{2-4x} = \dfrac{-4x-7}{2-4x}
Etude du signe de f\left(x\right)-g\left(x\right)
On étudie séparément le signe du numérateur et le signe du dénominateur :
\begin{cases} -4x -7\gt 0 \cr \cr -4x+2\gt 0 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} -4x \gt 7 \cr \cr -4x\gt -2 \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} x \lt -\dfrac{7}{4} \cr \cr x\lt \dfrac{1}{2} \end{cases}
On peut ainsi en déduire le tableau de signes du quotient :
f\left(x\right) - g\left(x\right) \gt 0 sur \left]-\infty ;-\dfrac{7}{4} \right[ \cup \left]\dfrac{1}{2}; +\infty \right[
f\left(x\right) - g\left(x\right) \lt 0 sur \left] -\dfrac{7}{4} ; \dfrac{1}{2}\right[
f\left(x\right) - g\left(x\right) = 0 pour le point d'abscisse -\dfrac{7}{4}.
- Cf est au-dessus de Cg sur \left]-\infty ;-\dfrac{7}{4} \right[ \cup \left]\dfrac{1}{2}; +\infty \right[ .
- Cf est en dessous de Cg sur \left] -\dfrac{7}{4} ; \dfrac{1}{2}\right[.
- Cf et Cg se coupent au point d'abscisse -\dfrac{7}{4}.