Montrer qu'un point M appartient à la courbe représentative d'une fonctionMéthode

Un point M\left(x;y\right) appartient à C_f, la courbe représentative d'une fonction f, si et seulement si x\in D_f et f\left(x\right) = y.

On considère une fonction f, définie par :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = \cos\left(x\right)\sin\left(x\right)

Démontrer que le point A\left( \dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{1}{2}\right) appartient à C_f, la courbe représentative de f.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle qu'un point M\left(x;y\right) appartient à C_f si et seulement si x\in D_f et f\left(x\right) = y.

Le point A appartient à C_f si et seulement si \dfrac{\pi}{4}\in D_f et f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}.

Etape 2

Vérifier que x\in D_f et calculer f\left(x\right)

On vérifie que x\in D_f et on calcule f\left(x\right).

D_f=\mathbb{R}, donc \dfrac{\pi}{4}\in D_f.

On calcule f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) :

f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)

f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\sqrt 2}{2} \times \dfrac{\sqrt 2}{2}

f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{\left(\sqrt 2\right)^2}{4}

f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{1}{2}

Etape 3

Conclure

  • Si x\in D_f et f\left(x\right) = y, on en déduit que le point M\left(x;y\right) appartient à C_f.
  • Si x\in D_f et f\left(x\right) \neq y, on en déduit que le point M\left(x;y\right) n'appartient pas à C_f.
  • Si x\notin D_f, on en déduit que le point M\left(x;y\right) n'appartient pas à C_f.

On a bien \dfrac{\pi}{4}\in D_f et f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) =\dfrac{1}{2} .

On en déduit que le point A\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{1}{2}\right) appartient à C_f.