Sommaire
ILa divisibilitéALes diviseursBLes multiplesCLa division euclidienneIILes congruencesALa caractérisationBLes opérations Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020
La divisibilité
Les diviseurs
Entier divisible
Soient a et b deux entiers relatifs, avec b non nul. L'entier a est divisible par b si et seulement s'il existe un entier relatif k tel que :
a = kb
On a :
24=8\times3
Donc 24 est divisible par 3.
On peut aussi en déduire que 24 est divisible par 8.
Soient a et b deux entiers relatifs, avec b non nul. Les propositions suivantes sont équivalentes :
- a est divisible par b ;
- b est un diviseur de a ;
- b divise a.
Soient a et b deux entiers relatifs, avec b non nul. Si b divise a, alors - b divise a.
4 divise 16, donc -4 divise également 16.
En effet, en prenant k=-4 :
\left(-4\right)\times\left(-4\right)=16
Soient a, b et d trois entiers relatifs avec d non nul. Si d divise les entiers a et b, il divise alors toute combinaison linéaire de a et de b du type ka + k'b, avec k et k' entiers relatifs.
4 divise 16 et 24, donc, par exemple, en prenant k=3 et k'=5 :
4 divise 3 \times 16 + 5 \times 24
Donc 4 divise 168.
Les multiples
Multiple
Soient a et b deux entiers relatifs, avec b non nul. L'entier a est un multiple de b si et seulement si b est un diviseur de a.
81 est un multiple de 9, et 9 est un diviseur de 81.
Soient a et b deux entiers relatifs, avec b non nul.
- Si a est un multiple de b, alors - a est un multiple de b.
- La somme et/ou la différence de multiples de b est un multiple de b.
- Si a est un multiple de b, alors ka est un multiple de b (avec k entier relatif).
La division euclidienne
Division euclidienne
Soient a et b deux entiers relatifs, avec b non nul. Il existe un unique couple d'entiers relatifs \left(q ; r\right) tel que :
a = bq + r et 0 \leq r \lt \left| b \right|
- L'entier q est le quotient de la division euclidienne de a par b.
- L'entier r est le reste de la division euclidienne de a par b.
La division euclidienne de 103 par 12 est :
103 = 12 \times\textcolor{Red}{8} + \textcolor{Blue}{7}
Dans cet exemple, \textcolor{Red}{q = 8} et \textcolor{Blue}{r = 7}.
Soient a et b deux entiers relatifs, avec b non nul. On dit que a est multiple de b et que b divise a si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
Les congruences
La caractérisation
Congruence
Soient a et b deux entiers et n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On dit que a est congru à b modulo n si et seulement si \left(a - b\right) est multiple de n. On note :
a \equiv b \left[n\right]
On a :
51-27 = 24
Or 24 est multiple de 6, donc \left(51-27\right) est également un multiple de 6. Ainsi, on peut écrire :
51 \equiv 27 \left[6\right]
Soient a et b deux entiers, et n un entier naturel supérieur ou égal à 2. a \equiv b \left[n\right] si et seulement si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
On a :
- 55=9\times 6 +1
- 28=9\times3+1
Donc 55 et 28 ont le même reste dans la division euclidienne par 9. On peut ainsi écrire :
55\equiv28\left[9\right]
L'entier a est divisible par l'entier b (supérieur ou égal à 2) si et seulement si a \equiv 0 \left[b\right].
Les opérations
Soient n un entier naturel supérieur ou égal à 2, a, a', b et b' des entiers relatifs tels que a \equiv a' \left[n\right] et b \equiv b' \left[n\right], alors :
- a + b \equiv a' + b' \left[n\right]
- a - b \equiv a' - b' \left[n\right]
- ab \equiv a'b' \left[n\right]
- a^{k} \equiv a'^{k} \left[n\right] ( k entier naturel non nul)
Si a\equiv5\left[6\right] et b\equiv1\left[6\right] alors :
- a+b\equiv5+1\left[6\right]\equiv6\left[6\right]\equiv0\left[6\right]
- a-b\equiv5-1\left[6\right]\equiv4\left[6\right]
- ab\equiv5\times 1\left[6\right]\equiv5\left[6\right]
- a^2\equiv5^2\left[6\right]\equiv25\left[6\right]\equiv1\left[6\right]
Soient a, b et k des entiers relatifs et n un entier supérieur ou égal à 2.
Si a\equiv b\left[n\right], alors ka\equiv kb\left[n\right].
Attention, la réciproque est fausse.