Rechercher tous les diviseurs d'un nombreMéthode

Afin de déterminer tous les diviseurs d'un nombre, on s'aide de sa décomposition en produit de facteurs premiers.

Soit D\left(n\right) l'ensemble des diviseurs positifs d'un nombre n. Déterminer D\left(120\right).

Etape 1

Décomposer en produit de facteurs premiers

On décompose n en produit de facteurs premiers de la forme :

n = a_1^{\alpha_1}\times a_2^{\alpha_2}\times ...\times a_p^{\alpha_p}

Avec a_1, ..., a_p des nombres premiers et \alpha_1, ..., \alpha_p des entiers naturels.

On décompose 120 en produit de facteurs premiers :

120 est divisible par 2 donc 120= 2\times 60.

60 est divisible par 2 donc 60= 2\times 30.

30 est divisible par 2 donc 30 = 2\times 15.

15 est divisible par 3 donc 15= 3\times 5.

On obtient donc :

120= 2^3\times 3^1 \times 5^1

Etape 2

Lister les diviseurs

Si d est un diviseur positif de n, d admet une décomposition de la forme :

d = a_1^{j_1}\times a_2^{j_2}\times ...\times a_p^{j_p}, avec pour tout i compris entre 1 et p, 0 \leq j_i \leq \alpha_i.

On détermine toutes les combinaisons possibles à l'aide d'un arbre.

Si d est un diviseur positif de 120, d admet une décomposition de la forme :

d = 2^{i}\times 3^{j}\times 5^{k}, avec 0 \leq i \leq 3, 0 \leq j \leq 1 et 0 \leq k \leq 1

On détermine toutes les combinaisons possibles à l'aide d'un arbre.

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Etape 3

Conclure

On conclut en donnant la liste des diviseurs de n.

L'ensemble des diviseurs positifs de 120 est donc :

\left\{ 1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;24;30;40;60;120\right\}