Soit n un entier naturel non nul.
Quel est, en fonction de n, le reste de la division euclidienne de \left(2n^2+3n\right) par \left(n+1\right) ?
On cherche à obtenir une égalité de la forme a =bq+r avec 0 \leq r \lt b.
Ici :
a = 2n^2+3n et b = n+1
On raisonne comme si l'on "posait" la division euclidienne :
2n^2+3n = \left(n+1\right)2n +n
Or :
n \lt n+1
Donc 2n^2+3n = \left(n+1\right)2n +n est bien la division euclidienne de 2n^2+3n par n+1.
Donc le reste de la division euclidienne de 2n^2+3n par n+1 est n.
Soit n un entier naturel non nul.
Quel est, en fonction de n, le reste de la division euclidienne de \left(6n^2+8n\right) par \left(2n+2\right) ?
On cherche à obtenir une égalité de la forme a =bq+r avec 0 \leq r \lt b.
Ici :
a = 6n^2+8n et b = 2n+2
On raisonne comme si l'on "posait" la division euclidienne :
6n^2+8n = \left(2n+2\right)3n +2n
Or :
2n \lt 2n+2
Donc 6n^2+8n = \left(2n+2\right)3n +2n est bien la division euclidienne de 6n^2+8n par 2n+2.
Donc le reste de la division euclidienne de 6n^2+8n par 2n+2 est 2n.
Soit n un entier naturel non nul.
Quel est, en fonction de n, le reste de la division euclidienne de \left(26n^2+17n\right) par \left(13n+6\right) ?
On cherche à obtenir une égalité de la forme a =bq+r avec 0 \leq r \lt b.
Ici :
a = 26n^2+17n et b = 13n+6
On raisonne comme si l'on "posait" la division euclidienne :
26n^2+17n = \left(13n+6\right)2n +5n
Or :
5n \lt 13n+6
Donc 26n^2+17n = \left(13n+6\right)2n +5n est bien la division euclidienne de 26n^2+17n par 13n+6.
Donc le reste de la division euclidienne de 26n^2+17n par 13n+6 est 5n.
Soit n un entier naturel non nul.
Quel est, en fonction de n, le reste de la division euclidienne de \left(33n^2+26n\right) par \left(11n+8\right) ?
On cherche à obtenir une égalité de la forme a =bq+r avec 0 \leq r \lt b.
Ici :
a = 33n^2+26n et b = 11n+8
On raisonne comme si l'on "posait" la division euclidienne :
33n^2+26n= \left(11n+8\right)3n +2n
Or :
2n \lt 11n+8
Donc 33n^2+26n= \left(11n+8\right)3n +2n est bien la division euclidienne de 33n^2+26n par 11n+8.
Donc le reste de la division euclidienne de 33n^2+26n par 11n+8 est 2n.
Soit n un entier naturel.
Quel est, en fonction de n, le reste de la division euclidienne de \left(2n+4\right) par \left(n+1\right) ?
On cherche à obtenir une égalité de la forme a =bq+r avec 0 \leq r \lt b.
Ici :
a = 2n+4 et b = n+1
On raisonne comme si l'on "posait" la division euclidienne :
2n+4= 2\left(n+1\right) +2
Or :
2 \lt n+1 \Leftrightarrow n \gt 1
Donc, si n est supérieur ou égal à 2, 2n+4= 2\left(n+1\right) +2 est bien la division euclidienne de 2n+4 par n+1 et 2 est le reste de cette division euclidienne.
On étudie maintenant les cas où n \leq 1 :
- Si n= 0 : 2n+4 = 4 et n+1=1. Comme 4=4\times1+0, r = 0
- Si n= 1 : 2n+4 = 6 et n+1=2. Comme 6=3\times2+0, r = 0
On peut alors conclure :
Le reste de la division euclidienne de 2n^2+3n par n+1 est :
- r = 0 si n= 0 ou n=1
- r = 2 si n \geq 2
Soit n un entier naturel.
Quel est, en fonction de n, le reste de la division euclidienne de \left(5n+15\right) par \left(n+2\right) ?
On cherche à obtenir une égalité de la forme a =bq+r avec 0 \leq r \lt b.
Ici :
a = 5n+15 et b = n+2
On raisonne comme si l'on "posait" la division euclidienne :
5n+15= 5\left(n+2\right) +5
Or :
5 \lt n+2 \Leftrightarrow n \gt 3
Donc, si n est strictement supérieur à 3, 5n+15= 5\left(n+2\right) +5 est bien la division euclidienne de 5n+15 par n+2 et 5 est le reste de cette division euclidienne.
On étudie maintenant les cas où n \leq 3 :
- Si n= 0 : 5n+15= 15 et n+2= 2 et comme 15=7\times2+1, r = 1
- Si n= 1 : 5n+15 = 20 et n+2=3 et comme 20=6\times3+2, r = 2
- Si n= 2 : 5n+15= 25 et n+2= 4 et comme 25=6\times4+1, r = 1
- Si n= 3 : 5n+15= 30 et n+2= 5 et comme 30=6\times5+0, r = 0
On peut donc conclure :
Le reste de la division euclidienne de 5n+15 par n+2 est :
- r = 1 si n= 0
- r = 2 si n= 1
- r = 1 si n= 2
- r = 0 si n= 3
- r = 5 si n \geq 4
Soit n un entier naturel.
Quel est, en fonction de n, le reste de la division euclidienne de \left(2n^2+5n+6\right) par \left(n+1\right) ?
On cherche à obtenir une égalité de la forme a =bq+r avec 0 \leq r \lt b.
Ici :
a = 2n^2+5n+6 et b = n+1
On raisonne comme si l'on "posait" la division euclidienne :
2n^2+5n+6 = \left(n+1\right)\left(2n+3\right) +3
Or, on a :
3\lt n+1 \Leftrightarrow n \gt 2
Donc, si n\gt 2, 2n^2+5n+6 = \left(n+1\right)\left(2n+3\right) +3 est bien la division euclidienne de 2n^2+5n+6 par n+1 et 3 est le reste de cette division euclidienne.
On étudie maintenant les cas où n \leq 2 :
- Si n= 0 : 2n^2+5n+6 = 6 et n+1=1 et comme 6=6\times1+0, r = 0
- Si n= 1 : 2n^2+5n+6 = 13 et n+1=2 et comme 13=6\times2+1, r = 1
- Si n= 2 : 2n^2+5n+6 = 24 et n+1=3 et comme 24=8\times3+0, r = 0
Le reste de la division euclidienne de 2n^2+5n+6 par n+1 est :
- r = 0 si n= 0
- r = 1 si n= 1
- r = 0 si n= 2
- r = 3 si n \geq 3