Résoudre une équation par les congruences  Méthode

Sommaire

1Simplifier l'équation 2Raisonner avec un tableau 3Conclure

Il est possible de résoudre des équations avec des congruences en appliquant les propriétés des opérations sur les congruences.

Déterminer les entiers x tels que :

3x+4 \ce{#} 2 \left[ 4\right]

Etape 1

Simplifier l'équation

D'après le cours, on sait que :

ax+b \ce{#} c\left[ d \right] \Leftrightarrow ax \ce{#} c-b\left[ d \right]

Si nécessaire, on applique cette propriété afin de simplifier l'équation.

3x+4 \ce{#} 2 \left[ 4\right]\Leftrightarrow 3x \ce{#} -2 \left[ 4\right]

Or :

-2 \left[ 4\right] \ce{#} 2 \left[ 4\right]

Donc l'équation devient :

3x \ce{#} 2 \left[ 4\right]

Etape 2

Raisonner avec un tableau

On dresse la table des congruences de x par b puis on en déduit celle de ax par b.

Or x est nécessairement congru à 0 ; 1 ; 2 ou 3.

On en déduit que :

  • Si x\ce{#} 0 \left[ 4 \right] alors 3x\ce{#} 0 \left[ 4 \right]
  • Si x\ce{#} 1 \left[ 4 \right] alors 3x\ce{#} 3 \left[ 4 \right]
  • Si x\ce{#} 2 \left[ 4 \right] alors 3x\ce{#} 6\ce{#} 2 \left[ 4 \right]
  • Si x\ce{#} 3 \left[ 4 \right] alors 3x\ce{#} 9\ce{#} 1 \left[ 4 \right]

Pour plus de lisibilité, on récapitule les résultats sous forme d'une table des congruences.

x\ce{#} 0 1 2 3
3x\ce{#} 0 3 2 1

On en déduit que :

3x\ce \ce{#} 2 \left[ 4 \right] \Leftrightarrow x\ce \ce{#} 2 \left[ 4 \right]

Etape 3

Conclure

On conclut sur les solutions de l'équation.

On en conclut que les entiers x solutions de l'équation sont de la forme 2+4k avec k \in \mathbb{Z}.