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  4. Méthode : Résoudre une équation par les congruences 

Résoudre une équation par les congruences  Méthode

Sommaire

1Simplifier l'équation 2Raisonner avec un tableau 3Conclure

Il est possible de résoudre des équations avec des congruences en appliquant les propriétés des opérations sur les congruences.

Déterminer les entiers x tels que :

3x+4 \ce{#} 2 \left[ 4\right]

Etape 1

Simplifier l'équation

D'après le cours, on sait que :

ax+b \ce{#} c\left[ d \right] \Leftrightarrow ax \ce{#} c-b\left[ d \right]

Si nécessaire, on applique cette propriété afin de simplifier l'équation.

3x+4 \ce{#} 2 \left[ 4\right]\Leftrightarrow 3x \ce{#} -2 \left[ 4\right]

Or :

-2 \left[ 4\right] \ce{#} 2 \left[ 4\right]

Donc l'équation devient :

3x \ce{#} 2 \left[ 4\right]

Etape 2

Raisonner avec un tableau

On dresse la table des congruences de x par b puis on en déduit celle de ax par b.

Or x est nécessairement congru à 0 ; 1 ; 2 ou 3.

On en déduit que :

  • Si x\ce{#} 0 \left[ 4 \right] alors 3x\ce{#} 0 \left[ 4 \right]
  • Si x\ce{#} 1 \left[ 4 \right] alors 3x\ce{#} 3 \left[ 4 \right]
  • Si x\ce{#} 2 \left[ 4 \right] alors 3x\ce{#} 6\ce{#} 2 \left[ 4 \right]
  • Si x\ce{#} 3 \left[ 4 \right] alors 3x\ce{#} 9\ce{#} 1 \left[ 4 \right]

Pour plus de lisibilité, on récapitule les résultats sous forme d'une table des congruences.

x\ce{#} 0 1 2 3
3x\ce{#} 0 3 2 1

On en déduit que :

3x\ce \ce{#} 2 \left[ 4 \right] \Leftrightarrow x\ce \ce{#} 2 \left[ 4 \right]

Etape 3

Conclure

On conclut sur les solutions de l'équation.

On en conclut que les entiers x solutions de l'équation sont de la forme 2+4k avec k \in \mathbb{Z}.

Voir aussi
  • Cours : La divisibilité et la congruence
  • Quiz : La divisibilité et la congruence
  • Méthode : Résoudre un problème de cryptographie 
  • Méthode : Retrouver des inconnues dans une division euclidienne
  • Méthode : Effectuer une division euclidienne quand le dividende et le diviseur sont exprimés en fonction de n 
  • Méthode : Rechercher le reste de la division de an par b
  • Méthode : Rechercher tous les diviseurs d'un nombre
  • Exercice : Calculer un reste de la division euclidienne et l'utiliser
  • Exercice : rechercher tous les diviseurs d'un nombre
  • Exercice : Effectuer une division euclidienne
  • Exercice : Déterminer les valeurs possibles du diviseur et du reste 
  • Exercice : Etudier le reste de la division euclidienne suivant les opérations
  • Exercice : Donner le reste d'une division euclidienne quand le dividende et le diviseur sont exprimés en fonction de n
  • Exercice : Rechercher le reste de la division de an par b
  • Exercice : Résoudre une équation par les congruences

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