Résoudre une équation par les congruences Méthode

Il est possible de résoudre des équations avec des congruences en appliquant les propriétés des opérations sur les congruences.

Déterminer les entiers x tels que :

3x+4 \ce{#} 2 \left[ 4\right]

Etape 1

Simplifier l'équation

D'après le cours, on sait que :

ax+b \ce{#} c\left[ d \right] \Leftrightarrow ax \ce{#} c-b\left[ d \right]

Si nécessaire, on applique cette propriété afin de simplifier l'équation.

3x+4 \ce{#} 2 \left[ 4\right]\Leftrightarrow 3x \ce{#} -2 \left[ 4\right]

Or :

-2 \left[ 4\right] \ce{#} 2 \left[ 4\right]

Donc l'équation devient :

3x \ce{#} 2 \left[ 4\right]

Etape 2

Raisonner avec un tableau

On dresse la table des congruences de x par b puis on en déduit celle de ax par b.

Or x est nécessairement congru à 0 ; 1 ; 2 ou 3.

On en déduit que :

  • Si x\ce{#} 0 \left[ 4 \right] alors 3x\ce{#} 0 \left[ 4 \right]
  • Si x\ce{#} 1 \left[ 4 \right] alors 3x\ce{#} 3 \left[ 4 \right]
  • Si x\ce{#} 2 \left[ 4 \right] alors 3x\ce{#} 6\ce{#} 2 \left[ 4 \right]
  • Si x\ce{#} 3 \left[ 4 \right] alors 3x\ce{#} 9\ce{#} 1 \left[ 4 \right]

Pour plus de lisibilité, on récapitule les résultats sous forme d'une table des congruences.

x\ce{#} 0 1 2 3
3x\ce{#} 0 3 2 1

On en déduit que :

3x\ce \ce{#} 2 \left[ 4 \right] \Leftrightarrow x\ce \ce{#} 2 \left[ 4 \right]

Etape 3

Conclure

On conclut sur les solutions de l'équation.

On en conclut que les entiers x solutions de l'équation sont de la forme 2+4k avec k \in \mathbb{Z}.