Les intégrales Cours

Sommaire

IAires et intégralesAIntégrale d'une fonction continue positiveBIntégrale d'une fonction continue négativeCIntégrale d'une fonction continueDLa valeur moyenne d'une fonctionIILes propriétés de l'intégraleALes propriétés algébriquesBOrdre et intégrationIIIPrimitives et intégralesARelation entre primitives et intégralesBPrimitive qui s'annule en a
I

Aires et intégrales

Soit un repère orthogonal \left(O ; I ; J\right). On appelle unité d'aire l'aire du rectangle OIAJ, où A est le point de coordonnées \left(1;1\right).

-
A

Intégrale d'une fonction continue positive

Intégrale d'une fonction continue positive

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle \left[a ; b\right] (a \lt b), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx de la fonction f sur \left[a ; b\right] est égale à l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = a et x = b.

-

Bornes d'intégration

En utilisant les notations précédentes, les réels a et b sont appelés bornes d'intégration.

B

Intégrale d'une fonction continue négative

Intégrale d'une fonction continue négative

Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle \left[a ; b\right] (a \lt b), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx de la fonction f sur \left[a ; b\right] est égale à l'opposé de l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = a et x = b.

-
C

Intégrale d'une fonction continue

Intégrale d'une fonction continue

Soit f une fonction continue sur un intervalle \left[a ; b\right] (a \lt b), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx de la fonction f sur \left[a ; b\right] est égale à la différence entre la somme des aires des surfaces comprises entre la courbe représentative de f et l'axe des abscisses lorsque f est positive et la somme des aires des surfaces comprises entre la courbe représentative de f et l'axe des abscisses lorsque f est négative.

-

On a ici : \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=A_1-A_2

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I tels que a\gt b. Alors, on pose :

\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=-\int_{b}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx

D

La valeur moyenne d'une fonction

Valeur moyenne d'une fonction

On appelle valeur moyenne de f sur \left[a ; b\right] (a \lt b) le réel :

\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx

Considérons la fonction f continue et définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=7x-2. Sa valeur moyenne sur l'intervalle \left[2;5\right] est donnée par le nombre :

\dfrac{1}{5-2}\int_{2}^{5} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac13\int_{2}^{5} \left(7x-2\right) \ \mathrm dx.

II

Les propriétés de l'intégrale

A

Les propriétés algébriques

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I ; a, b et c trois réels de I, et k un réel quelconque.

\int_{a}^{a}f\left(x\right) \ \mathrm dx = 0

\int_{5}^{5} 3x^8 \ \mathrm dx=0

\int_{b}^{a}f\left(x\right) \ \mathrm dx = -\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx

\int_{4}^{1} e^x\ \mathrm dx=-\int_{1}^{4} e^x \ \mathrm dx

\int_{a}^{b}kf\left(x\right) \ \mathrm dx = k\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx

\int_{a}^{b}\left(3x^2-3\right)\ \mathrm dx = 3\int_{a}^{b}\left(x^2-1\right) \ \mathrm dx

Relation de Chasles :

\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx =\int_{a}^{c}f\left(x\right) \ \mathrm dx +\int_{c}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx

\int_{1}^{100} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{1}^{25} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{25}^{100} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx

Linéarité :

Pour tous réels \alpha et \beta, \int_{a}^{b}\left(\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\right) \ \mathrm dx =\alpha \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx +\beta \int_{a}^{b}g\left(x\right) \ \mathrm dx

\int_{1}^{3} \dfrac{3x^5+2x}{x+1} \ \mathrm dx=\int_{1}^{3} \left[ \dfrac{3x^5}{x+1}+\dfrac{2x}{x+1} \right] \ \mathrm dx=3\int_{1}^{3} \dfrac{x^5}{x+1} \ \mathrm dx+2\int_{1}^{3} \dfrac{x}{x+1} \ \mathrm dx

B

Ordre et intégration

Positivité de l'intégrale :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de I tels que a \leq b. Si, pour tout réel x appartenant à \left[a ; b\right], f\left(x\right)\geqslant0, alors :

\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \geq 0

La fonction x\longmapsto x^2+1 est positive et continue sur l'intervalle \left[3;5\right]. Donc, par positivité de l'intégrale, (avec 3\lt5 ), on a :

\int_{3}^{5} \left(x^2+1\right)\ \mathrm dx\geq0

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de I tels que a \leq b. Si, pour tout réel x appartenant à \left[a ; b\right], f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right), alors :

\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \int_{a}^{b}g\left(x\right) \ \mathrm dx

Pour tout réel x\in \left[3;5\right], e^x\geq x. Les fonctions x\longmapsto x et x\longmapsto e^x étant continues sur \left[3;5\right], on a donc :

\int_{3}^{5} e^x \ \mathrm dx\geq\int_{3}^{5} x \ \mathrm dx

III

Primitives et intégrales

A

Relation entre primitives et intégrales

Intégrale

Soient f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I. Soient a et b deux réels de I. On a :

\int_{a}^{b}f\left(t\right) \ \mathrm dt = F\left(b\right) - F\left(a\right)

Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=3x+1. On cherche à calculer I=\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx.

On sait qu'une primitive de f sur \mathbb{R} est la fonction F définie pour tout réel x par F\left(x\right)=\dfrac32x^2+x.

On a donc :

\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=F\left(2\right)-F\left(1\right)

\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\left( \dfrac32\times2^2+2 \right)-\left( \dfrac32\times1^2+1 \right)

\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac{11}{2}

F\left(b\right) - F\left(a\right) se note également \left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}.

\int_{1}^{2} x \ \mathrm dx = \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \dfrac{2^2}{2} - \dfrac{1^2}{2} = \dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}
B

Primitive qui s'annule en a

Primitive qui s'annule en a

Soit f une fonction continue sur I, et a un réel de I. La fonction F définie ci-après est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en a :

F:x\longmapsto \int_{a}^{x}f\left(t\right) \ \mathrm dt

Cette fonction F est donc dérivable sur I et f est sa fonction dérivée sur I.

Soit f la fonction définie pour tout réel x par f\left(x\right)=2x+1. La fonction F définie ci-après est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en 0. Pour tout réel x, on a :

F\left(x\right) =\int_{0}^{x}\left(2t+1\right) \ \mathrm dt

Soit :

F\left(x\right) =\left[ t^2+t \right]_0^x

F\left(x\right) =\left(x^2+x\right)-\left(0^2+0\right)

F\left(x\right)=x^2+x