Sommaire
1Déterminer le signe de f\left(x\right) sur \left[ a;b \right] 2Vérifier le sens des bornes 3Conclure sur le signe de l'intégrale Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 12/05/2025 - Conforme au programme 2024-2025
On peut dans certains cas déterminer le signe d'une intégrale de la forme \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx sans avoir à la calculer explicitement. Pour cela, on doit déterminer le signe de la fonction f.
Déterminer le signe de l'intégrale suivante :
\int_{2}^{5} x^2e^x \ \mathrm dx
Déterminer le signe de f\left(x\right) sur \left[ a;b \right]
On détermine le signe de la fonction f sur \left[ a;b \right].
Pour tout réel x compris entre 2 et 5, on a :
- x^2\geqslant 0\\
- e^x\geqslant 0
Donc, par produit :
\forall x\in\left[ 2;5 \right],\ x^2e^x\geqslant0
Vérifier le sens des bornes
On vérifie que les bornes sont dans le bon sens, c'est-à-dire que a est inférieur ou égal à b.
On a bien 2\leqslant 5, donc les bornes sont dans le "bon sens".
Conclure sur le signe de l'intégrale
On applique la positivité de l'intégration :
- Si f est positive sur \left[ a;b \right], \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx est positive.
- Si f est négative sur \left[ a;b \right], \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx est négative.
Si le signe de f n'est pas constant sur \left[ a;b \right], on ne poursuit pas cette méthode car elle ne permettra pas de conclure.
Comme x\longmapsto x^2e^x est positive sur l'intervalle \left[ 2;5 \right], par positivité de l'intégration, on a :
\int_{2}^{5} x^2e^x \ \mathrm dx\geqslant 0