Démontrer qu'une intégrale est positive ou négativeMéthode

On peut dans certains cas déterminer le signe d'une intégrale de la forme \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx sans avoir à la calculer explicitement. Pour cela, on doit déterminer le signe de la fonction f.

Déterminer le signe de l'intégrale suivante :

\int_{2}^{5} x^2e^x \ \mathrm dx

Etape 1

Déterminer le signe de f\left(x\right) sur \left[ a;b \right]

On détermine le signe de la fonction f sur \left[ a;b \right].

Pour tout réel x compris entre 2 et 5, on a :

  • x^2\geqslant 0\\
  • e^x\geqslant 0

Donc, par produit :

\forall x\in\left[ 2;5 \right],\ x^2e^x\geqslant0

Etape 2

Vérifier le sens des bornes

On vérifie que les bornes sont dans le bon sens, c'est-à-dire que a est inférieur ou égal à b.

On a bien 2\leqslant 5, donc les bornes sont dans le "bon sens".

Etape 3

Conclure sur le signe de l'intégrale

On applique la positivité de l'intégration :

  • Si f est positive sur \left[ a;b \right], \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx est positive.
  • Si f est négative sur \left[ a;b \right], \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx est négative.

Si le signe de f n'est pas constant sur \left[ a;b \right], on ne poursuit pas cette méthode car elle ne permettra pas de conclure.

Comme x\longmapsto x^2e^x est positive sur l'intervalle \left[ 2;5 \right], par positivité de l'intégration, on a :

\int_{2}^{5} x^2e^x \ \mathrm dx\geqslant 0