Soit f la fonction définie sur \left[0;10\right] par f\left(x\right)= 3x^2-9x+1.
Quelle est la valeur moyenne de f sur cet intervalle ?
La valeur moyenne d'une fonction f définie et continue sur un intervalle \left[a;b\right] est donnée par :
m=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
On cherche la valeur moyenne de la fonction f définie sur \left[0;10\right] par f\left(x\right)= 3x^2-9x+1. f est une fonction continue (fonction polynôme), sa valeur moyenne vaut donc :
m=\dfrac{1}{10-0}\int_{0}^{10} f\left(x\right) \ \mathrm dx
On détermine alors une primitive de f pour calculer l'intégrale.
Une primitive de f est F avec pour tout réel x appartenant à \left[0;10\right] :
F\left(x\right)=3\times \dfrac{x^3}{3}-9\times \dfrac{x^2}{2}+x=x^3-\dfrac{9}{2}x^2+x
On obtient alors :
m=\dfrac{1}{10}\left(F\left(10\right)-F\left(0\right)\right)
m=\dfrac{1}{10}\left(10^3-\dfrac{9}{2}10^2+10-\left(0-0+0\right)\right)
m=56
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle \left[0;10\right] est de 56.
Soit f la fonction définie sur \left[1;3\right] par f\left(x\right)=\dfrac{12x^3+2x}{\sqrt{3x^4+x^2-1}}.
Quelle est la valeur moyenne de f sur cet intervalle ?
La valeur moyenne d'une fonction f définie et continue sur un intervalle \left[a;b\right] est donnée par :
m=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
On cherche la valeur moyenne de la fonction f définie sur \left[1;3\right] par f\left(x\right)=\dfrac{12x^3+2x}{\sqrt{3x^4+x^2-1}}. f est une fonction continue (fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas sur \left[1;3\right] ), sa valeur moyenne vaut donc :
m=\dfrac{1}{3-1}\int_{1}^{3} f\left(x\right) \ \mathrm dx
On détermine alors une primitive de f pour calculer l'intégrale.
Une primitive de f est F avec pour tout réel x appartenant à \left[1;3\right] :
F\left(x\right)=2\sqrt{3x^4+x^2-1}
On obtient alors :
m=\dfrac{1}{2}\left(F\left(3\right)-F\left(1\right)\right)
m=\left(\sqrt{3\times81+9-1}-\sqrt{3+1-1}\right)
m=\left(\sqrt{251}-\sqrt{3}\right)
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle \left[1;3\right] est de \sqrt{251}-\sqrt{3}.
Soit f la fonction définie sur \left[0;2\right] par f\left(x\right)=\dfrac{6x}{\left(3x^2+1\right)^{2}}.
Quelle est la valeur moyenne de f sur cet intervalle ?
La valeur moyenne d'une fonction f définie et continue sur un intervalle \left[a;b\right] est donnée par :
m=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
On cherche la valeur moyenne de la fonction f définie sur \left[0;2\right] par f\left(x\right)=\dfrac{6x}{\left(3x^2+1\right)^{2}}. f est une fonction continue (fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas sur \left[0;2\right] ), sa valeur moyenne vaut donc :
m=\dfrac{1}{2-0}\int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx
On détermine alors une primitive de f pour calculer l'intégrale.
Une primitive de f est F avec pour tout réel x appartenant à \left[0;2\right] :
F\left(x\right)= -\dfrac{1}{3x^2+1}
On obtient alors :
m=\dfrac{1}{2}\left(F\left(2\right)-F\left(0\right)\right)
m=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{1}{13}-\left(-1\right)\right)
m=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{12}{13}
m=\dfrac{6}{13}
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle \left[0;2\right] est de \dfrac{6}{13}.
Soit f la fonction définie sur \left[-2;-1\right] par f\left(x\right)= 4x^3-2x+\dfrac{1}{x^2}.
Quelle est la valeur moyenne de f sur cet intervalle ?
La valeur moyenne d'une fonction f définie et continue sur un intervalle \left[a;b\right] est donnée par :
m=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
On cherche la valeur moyenne de la fonction f définie sur \left[-2;-1\right] par f\left(x\right)= 4x^3-2x+\dfrac{1}{x^2}. f est une fonction continue (fonction polynôme et fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas sur \left[-2;-1\right] ), sa valeur moyenne vaut donc :
m=\dfrac{1}{-1-\left(-2\right)}\int_{-2}^{-1} f\left(x\right) \ \mathrm dx
On détermine alors une primitive de f pour calculer l'intégrale.
Une primitive de f est F avec pour tout réel x appartenant à \left[-2;-1\right] :
F\left(x\right)=x^4-x^2-\dfrac{1}{x}
On obtient alors :
m=1\times\left(F\left(-1\right)-F\left(-2\right)\right)
m=1-1+1-\left(16-4+\dfrac{1}{2}\right)
m=-\dfrac{23}{2}
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle \left[-2;-1\right] est de -\dfrac{23}{2}.
Soit f la fonction définie sur \left[-3;3\right] par f\left(x\right)=e^x+6x^2.
Quelle est la valeur moyenne de f sur cet intervalle ?
La valeur moyenne d'une fonction f définie et continue sur un intervalle \left[a;b\right] est donnée par :
m=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
On cherche la valeur moyenne de la fonction f définie sur \left[-3;3\right] par f\left(x\right)=e^x+6x^2. f est une fonction continue (fonction rationnelle), sa valeur moyenne vaut donc :
m=\dfrac{1}{3-\left(-3\right)}\int_{-3}^{3} f\left(x\right) \ \mathrm dx
On détermine alors une primitive de f pour calculer l'intégrale.
Une primitive de f est F avec pour tout réel x appartenant à \left[-3;3\right] :
F\left(x\right)=e^x+2x^3
On obtient alors :
m=\dfrac{1}{6}\left(F\left(3\right)-F\left(-3\right)\right)
m=\dfrac{1}{6}\left(e^3+2\times27-e^{-3}-2\times\left(-27\right)\right)
m=\dfrac{1}{6}\left(e^3-e^{-3}\right)+4\times\dfrac{27}{6}
m=\dfrac{1}{6}\left(e^3-e^{-3}\right)+18
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle \left[-3;3\right] est de \dfrac{1}{6}\left(e^3-e^{-3}\right)+18.
Soit f la fonction définie sur \left[-1;3\right] par f\left(x\right)= x^3e^x+3x^2e^x.
Quelle est la valeur moyenne de f sur cet intervalle ?
La valeur moyenne d'une fonction f définie et continue sur un intervalle \left[a;b\right] est donnée par :
m=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
On cherche la valeur moyenne de la fonction f définie sur \left[-1;3\right] par f\left(x\right)= x^3e^x+3x^2e^x. f est une fonction continue (fonction rationnelle), sa valeur moyenne vaut donc :
m=\dfrac{1}{3-\left(-1\right)}\int_{-1}^{3} f\left(x\right) \ \mathrm dx
On détermine alors une primitive de f pour calculer l'intégrale.
Une primitive de f est F avec pour tout réel x appartenant à \left[-1;3\right] :
F\left(x\right)=x^3e^x
On obtient alors :
m=\dfrac{1}{4}\left(F\left(3\right)-F\left(-1\right)\right)
m=\dfrac{1}{4}\left(27e^3-\left(-1\right)e^{-1}\right)
m=\dfrac{1}{4}\left(27e^3+e^{-1}\right)
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle \left[-1;3\right] est de m=\dfrac{1}{4}\left(27e^3+e^{-1}\right).
Soit f la fonction définie sur \left[0;5\right] par f\left(x\right)= \dfrac{4x-2}{\sqrt{2x^2-2x+4}}.
Quelle est la valeur moyenne de f sur cet intervalle ?
La valeur moyenne d'une fonction f définie et continue sur un intervalle \left[a;b\right] est donnée par :
m=\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
On cherche la valeur moyenne de la fonction f définie sur \left[0;5\right] par f\left(x\right)= \dfrac{4x-2}{\sqrt{2x^2-2x+4}}. f est une fonction continue (fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annulle pas sur \left[0;5\right] ), sa valeur moyenne vaut donc :
m=\dfrac{1}{5-0}\int_{0}^{5} f\left(x\right) \ \mathrm dx
On détermine alors une primitive de f pour calculer l'intégrale.
Une primitive de f est F avec pour tout réel x appartenant à \left[0;5\right] :
F\left(x\right)=2\sqrt{2x^2-2x+4}
On obtient alors :
m=\dfrac{1}{5}\left(F\left(5\right)-F\left(0\right)\right)
m=\dfrac{1}{5}\left(2\sqrt{50-10+4}-2\sqrt{4}\right)
m=\dfrac{2}{5}\left(\sqrt{44}-2\right)
m=\dfrac{2}{5}\left(2\sqrt{11}-2\right)
m=\dfrac{4}{5}\left(\sqrt{11}-1\right)
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle \left[0;5\right] est de \dfrac{4}{5}\left(\sqrt{11}-1\right).