Utiliser la linéarité pour calculer une intégrale Exercice

I=\int_{1}^{10}\dfrac{1+8x-3x^2}{x^2} \ \mathrm dx

I=\int_{1}^{10}\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{8x}{x^2}+\dfrac{-3x^2}{x^2} \ \mathrm dx

Par linéarité de l'intégrale, on obtient :

I=\int_{1}^{10} \dfrac{1}{x^2} \ \mathrm dx +\int_{1}^{10} \dfrac{8}{x} \ \mathrm dx +\int_{1}^{10} -3 \ \mathrm dx

On pose :

I_1=\int_{1}^{10} \dfrac{1}{x^2} \ \mathrm dx=\int_{1}^{10} f_1\left(x\right) \ \mathrm dx

I_2=\int_{1}^{10} \dfrac{8}{x} \ \mathrm dx=\int_{1}^{10} f_2\left(x\right) \ \mathrm dx

I_3=\int_{1}^{10} -3 \ \mathrm dx=\int_{1}^{10} f_3\left(x\right) \ \mathrm dx

I=\int_{1}^{2}\dfrac{x^2+x+1}{x} \ \mathrm dx

I=\int_{1}^{2}\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{x}{x}+\dfrac{1}{x} \ \mathrm dx

Par linéarité de l'intégrale, on obtient :

I=\int_{1}^{2} x \ \mathrm dx +\int_{1}^{2} 1 \ \mathrm dx +\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x} \ \mathrm dx

On pose :

I_1=\int_{1}^{2} x \ \mathrm dx=\int_{1}^{2} f_1\left(x\right) \ \mathrm dx

I_2=\int_{1}^{2} 1 \ \mathrm dx=\int_{1}^{2} f_2\left(x\right) \ \mathrm dx

I_3=\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x} \ \mathrm dx=\int_{1}^{2} f_3\left(x\right) \ \mathrm dx

I=\int_{2}^{3}\dfrac{1+xe^x}{x} \ \mathrm dx

I=\int_{2}^{3}\dfrac{1}{x}+\dfrac{xe^x}{x} \ \mathrm dx

Par linéarité de l'intégrale, on obtient :

I=\int_{2}^{3} \dfrac{1}{x} \ \mathrm dx +\int_{2}^{3} e^x \ \mathrm dx

On pose :

I_1=\int_{2}^{3} \dfrac{1}{x} \ \mathrm dx=\int_{2}^{3} f_1\left(x\right) \ \mathrm dx

I_2=\int_{2}^{3} e^x \ \mathrm dx=\int_{2}^{3} f_2\left(x\right) \ \mathrm dx

I=\int_{2}^{5}\dfrac{x+2}{x+1} \ \mathrm dx

I=\int_{2}^{5}\dfrac{x+1+1}{x+1} \ \mathrm dx=\int_{2}^{5}\dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1} \ \mathrm dx\int_{2}^{5} 1+\dfrac{1}{x+1} \ \mathrm dx

Par linéarité de l'intégrale, on obtient :

I=\int_{2}^{5} 1 \ \mathrm dx +\int_{2}^{5} \dfrac{1}{x+1} \ \mathrm dx

On pose :

I_1=\int_{2}^{5} 1 \ \mathrm dx=\int_{2}^{5} f_1\left(x\right) \ \mathrm dx

I_2=\int_{2}^{5} \dfrac{1}{x+1} \ \mathrm dx=\int_{2}^{5} f_2\left(x\right) \ \mathrm dx

I=\int_{1}^{4}\dfrac{2x}{x^2+3x} \ \mathrm dx+\int_{1}^{4}\dfrac{3}{x^2+3x} \ \mathrm dx.

Mais lorsque les bornes sont les mêmes, la somme des intégrales est l'intégrale de la somme. Par linéarité de l'intégrale, on obtient donc:

I=\int_{1}^{4}\dfrac{2x}{x^2+3x}+\dfrac{3}{x^2+3x} \ \mathrm dx=\int_{1}^{4} \dfrac{2x+3}{x^2+3x} \ \mathrm dx=\int_{1}^{4} f\left(x\right) \ \mathrm dx en posant, pour tout x de l'intervalle \left[1;4\right], f\left(x\right)=\dfrac{2x+3}{x^2+3x}.

On pose maintenant, pour tout x de l'intervalle \left[1;4\right], u\left(x\right)=x^2+3x. On a alors, pour tout x de l'intervalle \left[1;4\right], u'\left(x\right)=2x+3 et on remarque alors que f=\dfrac{u'}{u}. Une primitive de f est donc F=\ln\left(u\right) ce qui donne, pour tout x de l'intervalle \left[1;4\right] :

F\left(x\right)=\ln\left(x^2+3x\right).

On peut maintenant calculer I:

I=\int_{1}^{4} f\left(x\right) \ \mathrm dx

I=F\left(4\right)-F\left(1\right)=\left[ F\left(x\right) \right]_{1}^{4}=\left[ln\left(x^2+3x\right) \right]_{1}^{4}

I=\ln\left(4^2+3\times 4\right)-\ln\left(1^2+3\times 1\right)=\ln\left(16+12\right)-\ln\left(1+3\right)=\ln\left(28\right)-\ln\left(4\right)=ln\left( \dfrac{28}{4} \right)=\ln\left(7\right)

I=\int_{-2}^{-1}\dfrac{x}{x+7} \ \mathrm dx+\int_{-2}^{-1}\dfrac{7}{x+7} \ \mathrm dx.

On pourrait calculer la seconde intégrale, mais le calcul de la première n'est pas au programme de terminale. Mais lorsque les bornes sont les mêmes, la somme des intégrales est l'intégrale de la somme. Par linéarité de l'intégrale, on obtient donc:

I=\int_{-2}^{-1}\dfrac{x}{x+7} +\dfrac{7}{x+7} \ \mathrm dx=\int_{-2}^{-1}\dfrac{x+7}{x+7} \ \mathrm dx=\int_{-2}^{-1} 1 \ \mathrm dx=\int_{-2}^{-1} f\left(x\right) \ \mathrm dx en posant, pour tout x de l'intervalle \left[-2;-1\right], f\left(x\right)=1.

Une primitive de f est F en posant, pour tout x de l'intervalle \left[-2;-1\right] :

F\left(x\right)=x.

On peut maintenant calculer I:

I=\int_{-2}^{-1} f\left(x\right) \ \mathrm dx

I=F\left(-1\right)-F\left(-2\right)=\left[ F\left(x\right) \right]_{-2}^{-1}=\left[x \right]_{-2}^{-1}

I=-1-\left(-2\right)=-1+2=1

I=\int_{0}^{3}\left(x+1\right)e^x \ \mathrm dx-\int_{0}^{3}xe^x \ \mathrm dx.

Le calcul de chacune de ces deux intégrales n'est pas au programme de terminale. Mais lorsque les bornes sont les mêmes, la différence des intégrales est l'intégrale de la différence. Par linéarité de l'intégrale, on obtient donc:

I=\int_{0}^{3}\left(x+1\right)e^x \ \mathrm dx-\int_{0}^{3}xe^x \ \mathrm dx=\int_{0}^{3} \left(x+1\right)e^x-xe^x \ \mathrm dx=\int_{0}^{3} \left(x+1-x\right)e^x \ \mathrm dx=\int_{0}^{3} e^x \ \mathrm dx=\int_{0}^{3} f\left(x\right) \ \mathrm dx en posant, pour tout x de l'intervalle \left[0;3\right], f\left(x\right)=e^x.

Une primitive de f est F en posant, pour tout x de l'intervalle \left[0;3\right] :

F\left(x\right)=e^x.

On peut maintenant calculer I:

I=\int_{0}^{3} f\left(x\right) \ \mathrm dx

I=F\left(3\right)-F\left(0\right)=\left[ F\left(x\right) \right]_{0}^{3}=\left[e^x\right]_{0}^{3}

I=e^3-e^0=e^3-1