Calculer l'aire sous la courbe d'une fonction Méthode

Sommaire

1Exprimer l'aire que l'on veut calculer 2Déterminer le signe de f sur \left[ a;b \right] 3Exprimer l'aire en fonction d'une intégrale 4Calculer les intégrales 5Donner l'aire dans l'unité demandée

On peut calculer l'aire sous la courbe représentative d'une fonction f à l'aide d'un calcul d'intégrales.

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :

f\left( x \right)=x^3

Dans un repère orthonormal où une unité d'aire représente 4 cm2, on trace la courbe représentative de la fonction f. Calculer l'aire de la zone hachurée.

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Etape 1

Exprimer l'aire que l'on veut calculer

On détermine la fonction f et les réels a et b tels que l'aire à calculer soit celle de la surface comprise entre la courbe C_{f}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.

On cherche à déterminer l'aire de la surface comprise entre C_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-2 et x=1.

Etape 2

Déterminer le signe de f sur \left[ a;b \right]

On détermine le signe de f sur \left[ a;b \right]. On peut l'obtenir grâce à la position de C_f par rapport à l'axe des abscisses si la représentation graphique est donnée par l'énoncé.

La courbe est située :

  • En dessous de l'axe des abscisses sur \left[ -2;0 \right]
  • Au-dessus de l'axe des abscisses sur \left[ 0;1 \right]

Ainsi, f est négative sur \left[ -2;0 \right] et positive sur \left[ 0;1 \right].

Etape 3

Exprimer l'aire en fonction d'une intégrale

Trois cas se présentent :

  • Si f est positive sur \left[ a;b \right], alors A=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx.
  • Si f est négative sur \left[ a;b \right], alors A=-\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx.
  • Si f change de signe sur \left[ a;b \right], on utilise la relation de Chasles pour obtenir plusieurs intégrales vérifiant l'un des deux premiers cas.

f étant négative sur \left[ -2;0 \right] et positive sur \left[ 0;1 \right], on a :

A=-\int_{-2}^{0} f\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx

On remplace f par son expression :

A=-\int_{-2}^{0} x^3 \ \mathrm dx+\int_{0}^{1} x^3 \ \mathrm dx

Etape 4

Calculer les intégrales

On calcule la ou les intégrale(s) nécessaire(s). On peut alors conclure quant à la valeur de A. Cette valeur est exprimée en unités d'aire (u.a.).

Une primitive de x\longmapsto x^3 sur \mathbb{R} est x\longmapsto \dfrac{x^4}{4}.

On a donc :

A=-\left[ \dfrac{x^4}{4} \right]^0_{-2}+\left[ \dfrac{x^4}{4} \right]^1_{0}

A=-\left( \dfrac{0^4}{4}- \dfrac{\left( -2 \right)^4}{4}\right)+\left( \dfrac{1^4}{4} - \dfrac{0^4}{4} \right)

A=\dfrac{16}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{17}{4}

A vaut donc \dfrac{17}{4} u.a..

Etape 5

Donner l'aire dans l'unité demandée

Si l'énoncé le demande, on peut donner l'aire en centimètres carrés. Pour cela, grâce à l'échelle du graphique, on donne l'aire en centimètres carrés du carreau correspondant à une unité en abscisse et une unité en ordonnée. Si cette aire vaut n cm2, alors 1 u.a. vaut n cm2.

Ainsi, si A=k u.a., on a alors A=k\times n cm2.

Comme 1 u.a. vaut 4cm2, on a finalement :

A=\dfrac{17}{4}\times4=17 cm2