Calculer l'aire sous la courbe d'une fonctionMéthode

On peut calculer l'aire sous la courbe représentative d'une fonction f à l'aide d'un calcul d'intégrales.

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :

f\left( x \right)=x^3

Dans un repère orthonormal où une unité d'aire représente 4 cm2, on trace la courbe représentative de la fonction f. Calculer l'aire de la zone hachurée.

-
Etape 1

Exprimer l'aire que l'on veut calculer

On détermine la fonction f et les réels a et b tels que l'aire à calculer soit celle de la surface comprise entre la courbe C_{f}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.

On cherche à déterminer l'aire de la surface comprise entre C_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-2 et x=1.

Etape 2

Déterminer le signe de f sur \left[ a;b \right]

On détermine le signe de f sur \left[ a;b \right]. On peut l'obtenir grâce à la position de C_f par rapport à l'axe des abscisses si la représentation graphique est donnée par l'énoncé.

La courbe est située :

  • En dessous de l'axe des abscisses sur \left[ -2;0 \right]
  • Au-dessus de l'axe des abscisses sur \left[ 0;1 \right]

Ainsi, f est négative sur \left[ -2;0 \right] et positive sur \left[ 0;1 \right].

Etape 3

Exprimer l'aire en fonction d'une intégrale

Trois cas se présentent :

  • Si f est positive sur \left[ a;b \right], alors A=\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx.
  • Si f est négative sur \left[ a;b \right], alors A=-\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx.
  • Si f change de signe sur \left[ a;b \right], on utilise la relation de Chasles pour obtenir plusieurs intégrales vérifiant l'un des deux premiers cas.

f étant négative sur \left[ -2;0 \right] et positive sur \left[ 0;1 \right], on a :

A=-\int_{-2}^{0} f\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{0}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx

On remplace f par son expression :

A=-\int_{-2}^{0} x^3 \ \mathrm dx+\int_{0}^{1} x^3 \ \mathrm dx

Etape 4

Calculer les intégrales

On calcule la ou les intégrale(s) nécessaire(s). On peut alors conclure quant à la valeur de A. Cette valeur est exprimée en unités d'aire (u.a.).

Une primitive de x\longmapsto x^3 sur \mathbb{R} est x\longmapsto \dfrac{x^4}{4}.

On a donc :

A=-\left[ \dfrac{x^4}{4} \right]^0_{-2}+\left[ \dfrac{x^4}{4} \right]^1_{0}

A=-\left( \dfrac{0^4}{4}- \dfrac{\left( -2 \right)^4}{4}\right)+\left( \dfrac{1^4}{4} - \dfrac{0^4}{4} \right)

A=\dfrac{16}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{17}{4}

A vaut donc \dfrac{17}{4} u.a..

Etape 5

Donner l'aire dans l'unité demandée

Si l'énoncé le demande, on peut donner l'aire en centimètres carrés. Pour cela, grâce à l'échelle du graphique, on donne l'aire en centimètres carrés du carreau correspondant à une unité en abscisse et une unité en ordonnée. Si cette aire vaut n cm2, alors 1 u.a. vaut n cm2.

Ainsi, si A=k u.a., on a alors A=k\times n cm2.

Comme 1 u.a. vaut 4cm2, on a finalement :

A=\dfrac{17}{4}\times4=17 cm2

Questions fréquentes

Quelles sont les matières disponibles sur Kartable ?

Sur Kartable, l'élève accède à toutes les matières principales de la primaire au lycée, y compris pour les spécialités et les options. Mathématiques, physique-chimie, SVT, sciences, français, littérature, histoire, géographie, enseignement moral et civique, SES, philosophie, anglais, allemand et espagnol.
Inscrivez-vous

Les cours sont-ils conformes aux programmes officiels de l'Education nationale ?

L'intégralité des cours sur Kartable est rédigée par des professeurs de l'Éducation nationale et est conforme au programme en vigueur, incluant la réforme du lycée de l'année 2019-2020.
Choisissez votre formule

L'élève peut-il accéder à tous les niveaux ?

Sur Kartable, l'élève peut accéder à toutes les matières dans tous les niveaux de son choix. Ainsi, il peut revenir sur les notions fondamentales qu'il n'aurait pas comprises les années précédentes et se perfectionner.
Plus d'info

Kartable est-il gratuit ?

L'inscription gratuite donne accès à 10 contenus (cours, exercices, fiches ou quiz). Pour débloquer l'accès illimité aux contenus, aux corrections d'exercices, mode hors-ligne et téléchargement en PDF, il faut souscrire à l'offre Kartable Premium.
Plus d'info

Qui rédige les cours de Kartable ?

L'intégralité des contenus disponibles sur Kartable est conçue par notre équipe pédagogique, composée de près de 200 enseignants de l'Éducation nationale que nous avons sélectionnés.
Afficher plus

Qu'est ce que le service Prof en ligne ?

L'option Prof en ligne est un service de chat en ligne entre élèves et professeurs. Notre Prof en ligne répond à toutes les questions sur les cours, exercices, méthodologie et aide au devoirs, pour toutes les classes et dans toutes les matières. Le service est ouvert du lundi au vendredi de 16h à 19h pour les membres ayant souscrit à l'option.
Choisissez votre formule