On peut calculer l'aire du domaine compris entre deux courbes en utilisant un calcul d'intégrales.
Soient f et g les fonctions définies sur \left[ -2;1 \right] par :
f\left( x \right)=x^3+x
g\left( x \right)=x^3
Dans un repère orthonormal où une unité d'aire représente 4 cm2, on trace les courbes représentatives de f et g. Calculer l'aire du domaine hachuré en cm2.
Exprimer l'aire à calculer
On détermine les fonctions f et g et les réels a et b tels que l'aire à calculer soit celle du domaine compris entre les courbe C_{f} et C_g et les droites d'équation x=a et x=b.
On cherche à calculer l'aire du domaine compris entre les courbes C_f et C_g et les droites d'équation x=-2 et x=1.
Déterminer la position relative de C_f et C_g
On détermine la position relative de C_f et C_g sur \left[ a;b \right].
On peut lire graphiquement que :
- C_f est en dessous de C_g sur \left[ -2;0 \right].
- C_f est au-dessus de C_g sur \left[ 0;1 \right].
Exprimer l'aire en fonction d'une intégrale
Trois cas se présentent :
- Si C_f est au-dessus de C_g sur \left[ a;b \right], alors A=\int_{a}^{b} \left(f\left(x\right)-g\left( x \right)\right) \ \mathrm dx.
- Si C_f est en dessous de C_g sur \left[ a;b \right], alors A=-\int_{a}^{b} \left(f\left(x\right)-g\left( x \right)\right) \ \mathrm dx=\int_{a}^{b} \left(g\left(x\right)-f\left( x \right)\right) \ \mathrm dx.
- Si la position des deux courbes change sur \left[ a;b \right], on utilise la relation de Chasles pour obtenir plusieurs intégrales vérifiant l'un des deux premiers cas.
C_f est en dessous de C_g sur \left[ -2;0 \right], et au-dessus sur \left[ 0,1 \right]. On a donc :
A=-\int_{-2}^{0}\left( f\left(x\right)-g\left( x \right)\right) \ \mathrm dx + \int_{0}^{1}\left( f\left(x\right)-g\left( x \right)\right) \ \mathrm dx
Soit :
A=-\int_{-2}^{0}\left(x^3+x-x^3\right) \ \mathrm dx + \int_{0}^{1}\left(x^3+x-x^3\right)\ \mathrm dx
A=-\int_{-2}^{0}x \ \mathrm dx + \int_{0}^{1}x \ \mathrm dx
Calculer les intégrales
On calcule la ou les intégrale(s) nécessaire(s). On peut alors conclure quant à la valeur de A. Cette valeur est exprimée en unités d'aire (u.a.).
Une primitive de x \longmapsto x sur \mathbb{R} est x \longmapsto \dfrac{x^2}{2}.
On a alors :
A=-\left[ \dfrac{x^2}{2} \right]^0_{-2}+\left[ \dfrac{x^2}{2} \right]^1_{0}
A=-\left(\dfrac{0^2}{2}-\dfrac{\left(-2\right)^2}{2}\right)+\left(\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\right)
Donc :
A=\dfrac{4}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}
A vaut donc \dfrac{5}{2} u.a..
Donner l'aire dans l'unité demandée
Si l'énoncé le demande, on peut donner l'aire en centimètres carrés. Pour cela, grâce à l'échelle du graphique, on donne l'aire en centimètres carrés du carreau correspondant à une unité en abscisse et une unité en ordonnée. Si cette aire vaut n cm2, alors 1 u.a. vaut n cm2.
Ainsi, si A=k u.a., on a alors A=k\times n cm2.
Comme 1 u.a. vaut 4cm2, on a finalement :
A=\dfrac{5}{2}\times4=10 cm2