Calculer l'aire du domaine compris entre deux courbesMéthode

On peut calculer l'aire du domaine compris entre deux courbes en utilisant un calcul d'intégrales.

Soient f et g les fonctions définies sur \left[ -2;1 \right] par :

f\left( x \right)=x^3+x

g\left( x \right)=x^3

Dans un repère orthonormal où une unité d'aire représente 4 cm2, on trace les courbes représentatives de f et g. Calculer l'aire du domaine hachuré en cm2.

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Etape 1

Exprimer l'aire à calculer

On détermine les fonctions f et g et les réels a et b tels que l'aire à calculer soit celle du domaine compris entre les courbe C_{f} et C_g et les droites d'équation x=a et x=b.

On cherche à calculer l'aire du domaine compris entre les courbes C_f et C_g et les droites d'équation x=-2 et x=1.

Etape 2

Déterminer la position relative de C_f et C_g

On détermine la position relative de C_f et C_g sur \left[ a;b \right].

On peut lire graphiquement que :

  • C_f est en dessous de C_g sur \left[ -2;0 \right].
  • C_f est au-dessus de C_g sur \left[ 0;1 \right].
Etape 3

Exprimer l'aire en fonction d'une intégrale

Trois cas se présentent :

  • Si C_f est au-dessus de C_g sur \left[ a;b \right], alors A=\int_{a}^{b} \left(f\left(x\right)-g\left( x \right)\right) \ \mathrm dx.
  • Si C_f est en dessous de C_g sur \left[ a;b \right], alors A=-\int_{a}^{b} \left(f\left(x\right)-g\left( x \right)\right) \ \mathrm dx=\int_{a}^{b} \left(g\left(x\right)-f\left( x \right)\right) \ \mathrm dx.
  • Si la position des deux courbes change sur \left[ a;b \right], on utilise la relation de Chasles pour obtenir plusieurs intégrales vérifiant l'un des deux premiers cas.

C_f est en dessous de C_g sur \left[ -2;0 \right], et au-dessus sur \left[ 0,1 \right]. On a donc :

A=-\int_{-2}^{0}\left( f\left(x\right)-g\left( x \right)\right) \ \mathrm dx + \int_{0}^{1}\left( f\left(x\right)-g\left( x \right)\right) \ \mathrm dx

Soit :

A=-\int_{-2}^{0}\left(x^3+x-x^3\right) \ \mathrm dx + \int_{0}^{1}\left(x^3+x-x^3\right)\ \mathrm dx

A=-\int_{-2}^{0}x \ \mathrm dx + \int_{0}^{1}x \ \mathrm dx

Etape 4

Calculer les intégrales

On calcule la ou les intégrale(s) nécessaire(s). On peut alors conclure quant à la valeur de A. Cette valeur est exprimée en unités d'aire (u.a.).

Une primitive de x \longmapsto x sur \mathbb{R} est x \longmapsto \dfrac{x^2}{2}.

On a alors :

A=-\left[ \dfrac{x^2}{2} \right]^0_{-2}+\left[ \dfrac{x^2}{2} \right]^1_{0}

A=-\left(\dfrac{0^2}{2}-\dfrac{\left(-2\right)^2}{2}\right)+\left(\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\right)

Donc :

A=\dfrac{4}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}

A vaut donc \dfrac{5}{2} u.a..

Etape 5

Donner l'aire dans l'unité demandée

Si l'énoncé le demande, on peut donner l'aire en centimètres carrés. Pour cela, grâce à l'échelle du graphique, on donne l'aire en centimètres carrés du carreau correspondant à une unité en abscisse et une unité en ordonnée. Si cette aire vaut n cm2, alors 1 u.a. vaut n cm2.

Ainsi, si A=k u.a., on a alors A=k\times n cm2.

Comme 1 u.a. vaut 4cm2, on a finalement :

A=\dfrac{5}{2}\times4=10 cm2