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  4. Méthode : Calculer l'aire du domaine compris entre deux courbes

Calculer l'aire du domaine compris entre deux courbesMéthode

Sommaire

1Exprimer l'aire à calculer 2Déterminer la position relative de C_f et C_g 3Exprimer l'aire en fonction d'une intégrale 4Calculer les intégrales 5Donner l'aire dans l'unité demandée

On peut calculer l'aire du domaine compris entre deux courbes en utilisant un calcul d'intégrales.

Soient f et g les fonctions définies sur \left[ -2;1 \right] par :

f\left( x \right)=x^3+x

g\left( x \right)=x^3

Dans un repère orthonormal où une unité d'aire représente 4 cm2, on trace les courbes représentatives de f et g. Calculer l'aire du domaine hachuré en cm2.

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Etape 1

Exprimer l'aire à calculer

On détermine les fonctions f et g et les réels a et b tels que l'aire à calculer soit celle du domaine compris entre les courbe C_{f} et C_g et les droites d'équation x=a et x=b.

On cherche à calculer l'aire du domaine compris entre les courbes C_f et C_g et les droites d'équation x=-2 et x=1.

Etape 2

Déterminer la position relative de C_f et C_g

On détermine la position relative de C_f et C_g sur \left[ a;b \right].

On peut lire graphiquement que :

  • C_f est en dessous de C_g sur \left[ -2;0 \right].
  • C_f est au-dessus de C_g sur \left[ 0;1 \right].
Etape 3

Exprimer l'aire en fonction d'une intégrale

Trois cas se présentent :

  • Si C_f est au-dessus de C_g sur \left[ a;b \right], alors A=\int_{a}^{b} \left(f\left(x\right)-g\left( x \right)\right) \ \mathrm dx.
  • Si C_f est en dessous de C_g sur \left[ a;b \right], alors A=-\int_{a}^{b} \left(f\left(x\right)-g\left( x \right)\right) \ \mathrm dx=\int_{a}^{b} \left(g\left(x\right)-f\left( x \right)\right) \ \mathrm dx.
  • Si la position des deux courbes change sur \left[ a;b \right], on utilise la relation de Chasles pour obtenir plusieurs intégrales vérifiant l'un des deux premiers cas.

C_f est en dessous de C_g sur \left[ -2;0 \right], et au-dessus sur \left[ 0{,}1 \right]. On a donc :

A=-\int_{-2}^{0}\left( f\left(x\right)-g\left( x \right)\right) \ \mathrm dx + \int_{0}^{1}\left( f\left(x\right)-g\left( x \right)\right) \ \mathrm dx

Soit :

A=-\int_{-2}^{0}\left(x^3+x-x^3\right) \ \mathrm dx + \int_{0}^{1}\left(x^3+x-x^3\right)\ \mathrm dx

A=-\int_{-2}^{0}x \ \mathrm dx + \int_{0}^{1}x \ \mathrm dx

Etape 4

Calculer les intégrales

On calcule la ou les intégrale(s) nécessaire(s). On peut alors conclure quant à la valeur de A. Cette valeur est exprimée en unités d'aire (u.a.).

Une primitive de x \longmapsto x sur \mathbb{R} est x \longmapsto \dfrac{x^2}{2}.

On a alors :

A=-\left[ \dfrac{x^2}{2} \right]^0_{-2}+\left[ \dfrac{x^2}{2} \right]^1_{0}

A=-\left(\dfrac{0^2}{2}-\dfrac{\left(-2\right)^2}{2}\right)+\left(\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\right)

Donc :

A=\dfrac{4}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}

A vaut donc \dfrac{5}{2} u.a..

Etape 5

Donner l'aire dans l'unité demandée

Si l'énoncé le demande, on peut donner l'aire en centimètres carrés. Pour cela, grâce à l'échelle du graphique, on donne l'aire en centimètres carrés du carreau correspondant à une unité en abscisse et une unité en ordonnée. Si cette aire vaut n cm2, alors 1 u.a. vaut n cm2.

Ainsi, si A=k u.a., on a alors A=k\times n cm2.

Comme 1 u.a. vaut 4cm2, on a finalement :

A=\dfrac{5}{2}\times4=10 cm2