Calculer une intégraleMéthode

Afin de déterminer la valeur de \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx, on doit déterminer une primitive de la fonction f. Il ne reste ensuite qu'un calcul simple à effectuer.

Déterminer la valeur de l'intégrale suivante :

\int_{0}^{1} e^{-3x} \ \mathrm dx

Etape 1

Définir la fonction f

On appelle f la fonction définie sur l'intervalle formé par les bornes de l'intégrale et égal au contenu de l'intégrale à calculer.

On pose :

\forall x\in \left[ 0;1 \right], f\left( x \right)=e^{-3x}

Etape 2

Déterminer une primitive de f

On détermine une primitive de f sur l'intervalle formé par les bornes de l'intégrale en utilisant les méthodes classiques de recherche de primitives.

On détermine une primitive F de f sur \left[ 0;1 \right].

On pose :

  • u\left( x \right)=-3x
  • u est dérivable sur \left[ 0;1 \right] et pour tout réel x appartenant à \left[ 0;1 \right], u^{'}\left( x \right)=-3

On a :

f=-\dfrac{1}{3}u^{'}e^{u}

Une primitive de f sur \left[ 0;1 \right] est donc de la forme :

F=-\dfrac{1}{3}e^{u}

Finalement, la fonction suivante est une primitive de f sur \left[ 0;1 \right].

F:x\longmapsto-\dfrac{1}{3}e^{-3x}

Etape 3

Calculer l'intégrale

Si F est une primitive de f sur \left[ a;b \right], on a :

\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx = F\left( b \right)-F\left( a \right)

On effectue le calcul.

On a donc :

\int_{0}^{1} e^{-3x} \ \mathrm dx=F\left(1\right)-F\left(0\right)

\int_{0}^{1} e^{-3x} \ \mathrm dx=-\dfrac{1}{3}e^{-3\times1}-\left(-\dfrac{1}{3}e^{-3\times0} \right)

\int_{0}^{1} e^{-3x} \ \mathrm dx=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}e^{-3}