Transformer une expression pour calculer une intégrale Exercice

Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

Quelle proposition montre que pour tout réel x, \dfrac{2}{e^x+2}=1-\dfrac{e^x}{e^x+2} ?

Pour tout réel x, 1-\dfrac{e^x}{e^x+2}=\dfrac{e^x+2}{e^x+2}-\dfrac{e^x}{e^x+2}=\dfrac{\left(e^x+2\right)-e^x}{e^x+2}=\dfrac{2}{e^x+2}

\dfrac{e^x}{e^x+2}-1=\dfrac{e^x}{e^x+2}-\dfrac{e^x+2}{e^x+2}=\dfrac{e^x-e^x+2}{e^x+2}=\dfrac{2}{e^x+2}

Par déduction, quelle est la valeur de A=\int_{0}^{ln2} \dfrac{2}{e^x+2} \ \mathrm dx ?

A=\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)

A=\ln\left(\dfrac{2}{3}\right)

A=\dfrac{3}{2}

A=e^{\frac{3}{2}}