Transformer une expression pour calculer une intégrale Exercice

On sait que :

\forall x \in \mathbb{R}, 1-\dfrac{e^x}{e^x+2}=\dfrac{2}{e^x+2}.

Ainsi :

A=\int_{0}^{ln2} \dfrac{2}{e^x+2} \ \mathrm dx=\int_{0}^{ln2} 1-\dfrac{e^x}{e^x+2} \ \mathrm dx

Par linéarité de l'intégrale, on obtient :

A=\int_{0}^{ln2} 1 \ \mathrm dx-\int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x}{e^x+2} \ \mathrm dx

A=\left[ x \right]_{0}^{ln2}-\int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x}{e^x+2} \ \mathrm dx

A=ln2-\int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x}{e^x+2} \ \mathrm dx

On pose, pour tout réel x, f\left(x\right)=\dfrac{e^x}{e^x+2}

On détermine F une primitive de f.

On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=e^x+2.

On a f=\dfrac{u'}{u}, donc F=\ln\left| u \right|.

Et, comme pour tout réel x, u\left(x\right)\gt0, F=\ln\left(u\right)

Ainsi, pour tout réel x, F\left(x\right)=\ln\left(e^x+2\right)

On calcule alors :

\int_{a}^{b} \dfrac{e^x}{e^x+2} \ \mathrm dx=\left[ \ln\left(e^x+2\right) \right]_{0}^{ln2}

\int_{a}^{b} \dfrac{e^x}{e^x+2} \ \mathrm dx= \ln\left(e^{ln2}+2\right)-\ln\left(e^{0}+2\right)

Et, comme e^{ln2}=2 et e^0=1 :

\int_{a}^{b} \dfrac{e^x}{e^x+2} \ \mathrm dx= \ln\left(4\right)-\ln\left(3\right)

A=ln2-\int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x}{e^x+2} \ \mathrm dx

A=ln2-\left(ln4-ln3\right)

A=ln2-ln4+ln3

Or, on sait que lna-lnb=\ln\left(\dfrac{a}{b}\right), et lna+lnb=\ln\left(ab\right), d'où :

A=\ln\left(\dfrac{2\times3}{4}\right)=\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)