Sommaire
IDéfinition des nombres premiersIIPropriétés des nombres premiersIIIDivisibilité par un nombre premierIVDécomposition en produit de facteurs premiers Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020
Définition des nombres premiers
Nombre premier
Un entier naturel est dit premier lorsqu'il admet exactement deux diviseurs dans \mathbb{N} : 1 et lui-même.
13 est premier car il possède exactement deux diviseurs dans \mathbb{N} : 1 et 13.
12 n'est pas un nombre premier car ses diviseurs dans \mathbb{N} sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
2 est le seul nombre pair premier.
1 n'est pas premier car il n'a qu'un diviseur : 1.
Infinité des nombres premiers
L'ensemble des nombres premiers est infini.
Propriétés des nombres premiers
Tout entier n supérieur ou égal à 2 non premier admet au moins un diviseur premier inférieur ou égal à \sqrt n.
Soit n\geq 2
Si n n'admet aucun diviseur premier inférieur ou égal à \sqrt n, alors n est premier.
\sqrt{29}\approx5{,}4
29 n'admet pas de diviseurs premiers inférieurs ou égaux à 5. Donc 29 est premier.
Divisibilité par un nombre premier
Nombres premiers entre eux
Soient a un entier relatif et p un entier naturel. Si p est premier et p ne divise pas a, alors a et p sont premiers entre eux.
11 est premier et ne divise pas 25. Donc 11 et 25 sont premiers entre eux.
Divisibilité par un nombre premier
Soient a et b des entiers relatifs et p un entier naturel.
- Si p est premier et divise ab, alors p divise a ou p divise b.
- Si, en plus, a et b sont premiers, alors p=a ou p=b.
p est premier et divise le produit 7\times 3. Comme 7 et 3 sont premiers, alors p=7 ou p=3.
Décomposition en produit de facteurs premiers
Décomposition en produit de facteurs premiers
Tout entier n supérieur ou égal à 2 s'écrit de façon unique sous la forme :
n=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times \cdot\cdot\cdot \times p_m^{\alpha_m},
Où p_1,p_2,\cdot\cdot\cdot,p_m sont des nombres premiers tels que p_1\lt p_2 \lt \cdot\cdot\cdot\lt p_m et \alpha_1,\alpha_2,\cdot\cdot\cdot,\alpha_m des entiers naturels non nuls.
Cette écriture est la décomposition en produit de facteurs premiers.
La décomposition en produit de facteurs premiers de 600 est :
600=6\times10^2=2\times3\times\left( 5\times2 \right)^2=2^3\times3\times5^2
car 2, 3 et 5 sont bien des nombres premiers.