I
Définition des nombres premiers
Nombre premier
Un entier naturel est dit premier lorsqu'il admet exactement deux diviseurs dans \(\displaystyle{\mathbb{N}}\) : 1 et lui-même.
II
Propriétés des nombres premiers
III
Divisibilité par un nombre premier
Divisibilité par un nombre premier
Soient a et b des entiers relatifs et p un entier naturel.
- Si p est premier et divise ab, alors p divise a ou p divise b.
- Si, en plus, a et b sont premiers, alors \(\displaystyle{p=a}\) ou \(\displaystyle{p=b}\).
IV
Décomposition en produit de facteurs premiers
Décomposition en produit de facteurs premiers
Tout entier n supérieur ou égal à 2 s'écrit de façon unique sous la forme :
\(\displaystyle{n=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times \cdot\cdot\cdot \times p_m^{\alpha_m}}\),
Où \(\displaystyle{p_1,p_2,\cdot\cdot\cdot,p_m}\) sont des nombres premiers tels que \(\displaystyle{p_1\lt p_2 \lt \cdot\cdot\cdot\lt p_m}\) et \(\displaystyle{\alpha_1,\alpha_2,\cdot\cdot\cdot,\alpha_m}\) des entiers naturels non nuls.
Cette écriture est la décomposition en produit de facteurs premiers.