Sommaire
IDéfinition des nombres premiersIIPropriétés des nombres premiersIIIDivisibilité par un nombre premierIVDécomposition en produit de facteurs premiersDéfinition des nombres premiers
Nombre premier
Un entier naturel est dit premier lorsqu'il admet exactement deux diviseurs dans \mathbb{N} : 1 et lui-même.
13 est premier car il possède exactement deux diviseurs dans \mathbb{N} : 1 et 13.
12 n'est pas un nombre premier car ses diviseurs dans \mathbb{N} sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
2 est le seul nombre pair premier.
1 n'est pas premier car il n'a qu'un diviseur : 1.
Infinité des nombres premiers
L'ensemble des nombres premiers est infini.
Propriétés des nombres premiers
Tout entier n supérieur ou égal à 2 non premier admet au moins un diviseur premier inférieur ou égal à \sqrt n.
Soit n\geq 2
Si n n'admet aucun diviseur premier inférieur ou égal à \sqrt n, alors n est premier.
\sqrt{29}\approx5,4
29 n'admet pas de diviseurs premiers inférieurs ou égaux à 5. Donc 29 est premier.
Divisibilité par un nombre premier
Nombres premiers entre eux
Soient a un entier relatif et p un entier naturel. Si p est premier et p ne divise pas a, alors a et p sont premiers entre eux.
11 est premier et ne divise pas 25. Donc 11 et 25 sont premiers entre eux.
Divisibilité par un nombre premier
Soient a et b des entiers relatifs et p un entier naturel.
- Si p est premier et divise ab, alors p divise a ou p divise b.
- Si, en plus, a et b sont premiers, alors p=a ou p=b.
p est premier et divise le produit 7\times 3. Comme 7 et 3 sont premiers, alors p=7 ou p=3.
Décomposition en produit de facteurs premiers
Décomposition en produit de facteurs premiers
Tout entier n supérieur ou égal à 2 s'écrit de façon unique sous la forme :
n=p_1^{\alpha_1}\times p_2^{\alpha_2}\times \cdot\cdot\cdot \times p_m^{\alpha_m},
Où p_1,p_2,\cdot\cdot\cdot,p_m sont des nombres premiers tels que p_1\lt p_2 \lt \cdot\cdot\cdot\lt p_m et \alpha_1,\alpha_2,\cdot\cdot\cdot,\alpha_m des entiers naturels non nuls.
Cette écriture est la décomposition en produit de facteurs premiers.
La décomposition en produit de facteurs premiers de 600 est :
600=6\times10^2=2\times3\times\left( 5\times2 \right)^2=2^3\times3\times5^2
car 2, 3 et 5 sont bien des nombres premiers.