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  4. Exercice : Rechercher le nombre de diviseurs d'un nombre

Rechercher le nombre de diviseurs d'un nombre Exercice

Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.

Dernière modification : 05/02/2020 - Conforme au programme 2019-2020

Quel est le nombre de diviseurs positifs de 120 ?

Afin de déterminer le nombre de diviseurs d'un nombre on exprime ce nombre en produits de facteurs premiers.

Etape 1

Décomposition en produits de facteurs premiers

Pour décomposer un nombre n en produit de facteurs premiers, on cherche le plus petit entier premier qui divise n.

  • Si le quotient est 1 ou un nombre premier la décomposition est terminée.
  • Sinon on recommence avec le quotient.

Ainsi :

120 est divisible par 2 donc 120 = 2\times 60.

60 est divisible 2 donc 60 = 2\times 30

30 est divisible par 2 donc 30 =2\times 15

15 est divisible par 3 donc 15 = 3\times 5

On obtient :

120 = 2^3 \times 3 \times 5

Etape 2

Détermination du nombre de diviseurs positifs

Chacun des diviseurs k peut s'écrire :

k = 2^a \times 3^b \times 5^c avec 0 \leq a \leq 3, 0 \leq b \leq 1 et 0 \leq c \leq 1.

Le nombre de diviseurs positifs correspond au nombre de combinaisons possibles de l'expression précédente.

On remarque que a peut prendre quatre valeurs différentes, b deux valeurs et c deux valeurs.

On en déduit que le nombre 120 a :

4 \times 2 \times 2 = 16 diviseurs positifs.

Le nombre 120 a 16 diviseurs positifs.

Quel est le nombre de diviseurs positifs de 84 ?

Afin de déterminer le nombre de diviseurs d'un nombre on exprime ce nombre en produits de facteurs premiers.

Etape 1

Décomposition en produits de facteurs premiers

Pour décomposer un nombre n en produit de facteurs premiers, on cherche le plus petit entier premier qui divise n.

  • Si le quotient est 1 ou un nombre premier la décomposition est terminée.
  • Sinon on recommence avec le quotient.

Ainsi :

84 est divisible par 2 donc 84 = 2\times 42.

42 est divisible 2 donc 42= 2\times 21.

21 est divisible par 3 donc 21=3\times 7.

On obtient :

84= 2^2 \times 3 \times 7

Etape 2

Détermination du nombre de diviseurs positifs

Chacun des diviseurs k peut s'écrire :

k = 2^a \times 3^b \times 7^c avec 0 \leq a \leq 2, 0 \leq b \leq 1 et 0 \leq c \leq 1.

Le nombre de diviseurs positifs correspond au nombre de combinaisons possibles de l'expression précédente.

On remarque que a peut prendre trois valeurs différentes, b deux valeurs et c deux valeurs. On en déduit que le nombre 84 a :

3 \times 2 \times 2 = 12 diviseurs positifs.

Le nombre 84 a 12 diviseurs positifs.

Quel est le nombre de diviseurs positifs de 1470 ?

Afin de déterminer le nombre de diviseurs d'un nombre on exprime ce nombre en produits de facteurs premiers.

Etape 1

Décomposition en produits de facteurs premiers

Pour décomposer un nombre n en produit de facteurs premiers, on cherche le plus petit entier premier qui divise n.

  • Si le quotient est 1 ou un nombre premier la décomposition est terminée.
  • Sinon on recommence avec le quotient.

Ainsi :

1470 est divisible par 2 donc 1\ 470 = 2\times 735.

735 est divisible par 3 donc 735 = 3\times 245.

245 est divisible par 5 donc 245 =5\times 49.

49 est divisible par 7 donc 49 = 7\times 7.

On obtient donc :

1\ 470 = 2\times 3\times 5 \times 7^2

Etape 2

Détermination du nombre de diviseurs positifs

Chacun des diviseurs k peut s'écrire :

k= 2^a\times 3^b\times 5^c \times 7^d avec 0 \leq a \leq 1, 0 \leq b \leq 1, 0 \leq c \leq 1, 0 \leq d \leq 2.

Le nombre de diviseurs positifs correspond au nombre de combinaisons possibles de l'expression précédente.

On remarque que a peut prendre deux valeurs différentes, b deux valeurs, c deux valeurs et d trois valeurs. On en déduit que le nombre 1470 a :

2 \times 2 \times 2 \times 3 = 24 diviseurs positifs.

Le nombre 1470 a 24 diviseurs positifs.

Quel est le nombre de diviseurs positifs de 2475 ?

Afin de déterminer le nombre de diviseurs d'un nombre on exprime ce nombre en produits de facteurs premiers.

Etape 1

Décomposition en produits de facteurs premiers

Pour décomposer un nombre n en produit de facteurs premiers, on cherche le plus petit entier premier qui divise n.

  • Si le quotient est 1 ou un nombre premier la décomposition est terminée.
  • Sinon on recommence avec le quotient.

Ainsi :

2475 est divisible par 3 donc 2\ 475= 3\times 825.

825 est divisible 3 donc 825= 3\times 275.

275 est divisible par 5 donc 275= 5\times 55.

55 est divisible par 5 donc 55= 5\times 11.

On obtient donc :

2\ 475=3^2\times 5^2\times 11

Etape 2

Détermination du nombre de diviseurs positifs

Chacun des diviseurs k peut s'écrire :

k= 3^a\times 5^b \times 11^c avec 0 \leq a \leq 2, 0 \leq b \leq 2 et 0 \leq c \leq 1.

Le nombre de diviseurs positifs correspond au nombre de combinaisons possibles de l'expression précédente.

On remarque que a peut prendre trois valeurs différentes, b trois valeurs et c deux valeurs. On en déduit que le nombre 2475 a :

3 \times 3 \times2 = 18 diviseurs positifs.

Le nombre 2475 a 18 diviseurs positifs.

Quel est le nombre de diviseurs positifs de 28 322 ?

Afin de déterminer le nombre de diviseurs d'un nombre on exprime ce nombre en produits de facteurs premiers.

Etape 1

Décomposition en produits de facteurs premiers

Pour décomposer un nombre n en produit de facteurs premiers, on cherche le plus petit entier premier qui divise n.

  • Si le quotient est 1 ou un nombre premier la décomposition est terminée.
  • Sinon on recommence avec le quotient.

Ainsi :

28 332 est divisible par 2 donc 28\ 332 = 14\ 161 \times 2.

14 161 est divisible par 7 donc 14\ 161= 7\times 2\ 023.

2023 est divisible 7 donc 2\ 023= 7\times 289.

289 est divisible par 17 donc 289= 17\times 17.

On obtient donc :

28\ 332=2\times7^2\times 17^2

Etape 2

Détermination du nombre de diviseurs positifs

Chacun des diviseurs k peut s'écrire :

k= 2^a\times 7^b \times 17^c avec 0 \leq a \leq 1, 0 \leq b \leq 2 et 0 \leq c \leq 2.

Le nombre de diviseurs positifs correspond au nombre de combinaisons possibles de l'expression précédente.

On remarque que a peut prendre deux valeurs différentes, b trois valeurs et c trois valeurs. On en déduit que le nombre 28 332 a :

2 \times 3 \times3 = 18 diviseurs positifs.

Le nombre 28 332 a 18 diviseurs positifs.

Quel est le nombre de diviseurs positifs de 5292 ?

Afin de déterminer le nombre de diviseurs d'un nombre on exprime ce nombre en produits de facteurs premiers.

Etape 1

Décomposition en produits de facteurs premiers

Pour décomposer un nombre n en produit de facteurs premiers, on cherche le plus petit entier premier qui divise n.

  • Si le quotient est 1 ou un nombre premier la décomposition est terminée.
  • Sinon on recommence avec le quotient.

Ainsi :

5292 est divisible par 2 donc 5\ 292= 2\times 2\ 646.

2646 est divisible par 2 donc 2\ 646= 2\times 1\ 323.

1323 est divisible 3 donc 1\ 323= 3\times 441.

441 est divisible par 3 donc 441= 3\times 147.

147 est divisible par 3 donc 147= 3\times 49.

49 est diviseible par 7 donc 49= 7\times 7.

On obtient donc :

5\ 292=2^2\times 3^3\times 7^2

Etape 2

Détermination du nombre de diviseurs positifs

Chacun des diviseurs k peut s'écrire :

k= 2^a\times 3^b \times 7^c avec 0 \leq a \leq 2, 0 \leq b \leq 3 et 0 \leq c \leq 2.

Le nombre de diviseurs positifs correspond au nombre de combinaisons possibles de l'expression précédente.

On remarque que a peut prendre trois valeurs différentes, b trois valeurs et c trois valeurs. On en déduit que le nombre 5692 a :

3 \times 4 \times3 = 36 diviseurs positifs.

Le nombre 5292 a 36 diviseurs positifs.

Quel est le nombre de diviseurs positifs de 1395 ?

Afin de déterminer le nombre de diviseurs d'un nombre on exprime ce nombre en produits de facteurs premiers.

Etape 1

Décomposition en produits de facteurs premiers

Pour décomposer un nombre n en produit de facteurs premiers, on cherche le plus petit entier premier qui divise n.

  • Si le quotient est 1 ou un nombre premier la décomposition est terminée.
  • Sinon on recommence avec le quotient.

Ainsi :

1395 est divisible par 3 donc 1\ 395= 3\times 465.

465 est divisible par 3 donc 465= 3\times 155.

155 est divisible 5 donc 155= 5\times 31.

Or 31 est un nombre premier.

On obtient donc :

1\ 395= 3^2\times 5\times 31

Etape 2

Détermination du nombre de diviseurs positifs

Chacun des diviseurs k peut s'écrire :

k= 3^a\times 5^b \times 31^c avec 0 \leq a \leq 2, 0 \leq b \leq 1 et 0 \leq c \leq 1.

Le nombre de diviseurs positifs correspond au nombre de combinaisons possibles de l'expression précédente.

On remarque que a peut prendre trois valeurs différentes, b deux valeurs et c deux valeurs. On en déduit que le nombre 1395 a :

3 \times 2 \times2 = 12 diviseurs positifs.

Le nombre 1395 a 12 diviseurs positifs.

Exercice suivant

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Voir aussi
  • Cours : Les nombres premiers
  • Quiz : Les nombres premiers
  • Méthode : Le crible d'Érathostène
  • Méthode : Recherche du PGCD par la décomposition en facteurs premiers
  • Méthode : Recherche du nombre de diviseurs d'un entier naturel
  • Méthode : Recherche des diviseurs d'un nombre grâce à sa décomposition en produit de nombres premiers
  • Exercice : Décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers
  • Exercice : Rechercher tous les diviseurs d'un nombre
  • Exercice : Rechercher le PGCD de deux nombres à partir de la décomposition en facteurs premiers

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