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  4. Cours : Les nombres rationnels

Les nombres rationnels Cours

Sommaire

IDéfinition des nombres rationnelsIIL'addition et la soustraction de fractionsIIILa multiplication de fractionsIVLa division de fractionsAL'inverse d'un nombreBLa multiplication d'une fraction par son inverseVLa comparaison de nombres rationnels
I

Définition des nombres rationnels

Un nombre rationnel est défini comme quotient d'un entier relatif par un entier relatif non nul.

Nombre rationnel

On appelle « nombre rationnel » tout nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction, c'est-à-dire sous la forme \dfrac{a}{b}, où a et b sont des entiers relatifs avec b\neq0.

  • 2, -52,7 et \dfrac{1}{3} sont des nombres rationnels.
  • \pi n'est pas un nombre rationnel car on ne peut pas l'écrire sous la forme d'un quotient relatif par un entier relatif non nul.

Il arrive qu'un nombre rationnel ne puisse pas s'écrire sous forme décimale. C'est notamment le cas de \dfrac{1}{3} dans l'exemple précédent.

Le quotient de deux nombres décimaux peut ne pas être un nombre décimal.

\dfrac{2{,}5}{7{,}5} n'est pas un nombre décimal.

II

L'addition et la soustraction de fractions

L'addition et la soustraction de fractions fonctionnent de la même manière : les fractions doivent avoir le même dénominateur, on additionne ou on soustrait alors leurs numérateurs.

Pour additionner deux fractions qui ont le même dénominateur, on additionne les numérateurs et on conserve le dénominateur commun aux deux fractions de départ :

\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}

Soit a, b et c des nombres tels que b\neq 0.

\dfrac{a}{b} est le nombre qui multiplié par b donne a.

\dfrac{c}{b} est le nombre qui multiplié par b donne c.

\dfrac{a+c}{b} est le nombre qui multiplié par b donne a+c.

Ainsi on a :
\dfrac{a}{b}\times b=a
\dfrac{c}{b}\times b=c

Donc \dfrac{a}{b}\times b+\dfrac{c}{b}\times b=a+c.

Or \dfrac{a+c}{b}\times b=a+c.

On en déduit :
\dfrac{a}{b}\times b+\dfrac{c}{b}\times b=\dfrac{a+c}{b}\times b.

Comme \dfrac{a}{b}\times b+\dfrac{c}{b}\times b=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}\right)\times b, on obtient :
\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}\right)\times b=\dfrac{a+c}{b}\times b

En divisant par b chaque membre de l'égalité, on a :
\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}=\dfrac{a+c}{b}

\dfrac{5}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{5+8}{3}=\dfrac{13}{3}

Pour soustraire deux fractions qui ont le même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur commun aux deux fractions de départ :

\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{b} = \dfrac{a-c}{b}

\dfrac{11}{5}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{11-2}{5}=\dfrac{9}{5}

Pour additionner ou soustraire deux fractions n'ayant pas le même dénominateur, on doit d'abord les remplacer par des fractions égales ayant le même dénominateur.

On souhaite additionner \dfrac23 et \dfrac59 :

\dfrac23 + \dfrac59 =\dfrac{2\times 3}{3\times 3}+\dfrac{5}{9}= \dfrac69 + \dfrac59 = \dfrac{6+5}{9} = \dfrac{11}{9}

Soient a et b deux nombres avec b\neq0 :

\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = - \dfrac{a}{b}

3+\dfrac{2}{-3}=3+(-\dfrac{2}{3})=3-\dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{3}

III

La multiplication de fractions

Multiplier deux fractions revient à multiplier leurs numérateurs entre eux et leurs dénominateurs entre eux.

Pour multiplier deux fractions, on multiplie leurs numérateurs entre eux et leurs dénominateurs entre eux. Soient a, b, c et d quatre nombres, avec b\neq0 et d\neq0 :

\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}

Soient a, b, c et d des nombres tels que b\neq 0 et d\neq 0.

\dfrac{a}{b} est le nombre qui multiplié par b donne a.

\dfrac{c}{d} est le nombre qui multiplié par d donne c.

\dfrac{a\times c}{b\times d} est le nombre qui multiplié par b\times d donne a\times c.

Ainsi :
\dfrac{a}{b}\times b\times \dfrac{c}{d}\times d=a\times c

Or \dfrac{a}{b}\times b\times \dfrac{c}{d}\times d=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}\times b\times d.

On en déduit :
\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}\times b\times d=\dfrac{a\times c}{b\times d}\times b\times d

En divisant par b\times d chaque membre de l'égalité, on obtient :
\dfrac{a}{b}\times \dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}

\dfrac37 \times \dfrac52 = \dfrac{3 \times 5}{7 \times 2} = \dfrac{15}{14}

Il est préférable de simplifier chacune des fractions avant de les multiplier.

\dfrac{25}{15}\times \dfrac{16}{36}=\dfrac{\textcolor{Blue}{5}\times5}{\textcolor{Blue}{5}\times3}\times\dfrac{\textcolor{Blue}{4}\times4}{\textcolor{Blue}{4}\times9}=\dfrac{5}{3}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{20}{27}

Prendre une fraction d'un nombre, c'est multiplier cette fraction par ce nombre.

Prendre le tiers de 24 €, c'est calculer :
\dfrac{1}{3}\times24=8

Le tiers de 24 € est donc 8 €.

IV

La division de fractions

Pour diviser des fractions entre elles, on utilise la notion d'inverse et la multiplication. En effet, diviser une fraction revient à la multiplier par son inverse.

A

L'inverse d'un nombre

L'inverse d'un nombre relatif a est \dfrac{1}{a}, on le note également a^{-1}. L'inverse de la fraction \dfrac{a}{b} est \dfrac{b}{a}.

Inverse d'un nombre relatif

L'inverse d'un nombre relatif non nul a est le nombre qui multiplié par a donne 1.

5\times0{,}2=1, donc l'inverse de 5 est 0,2.

\left(-100\right)\times\left(-0{,}01\right)=1, donc l'inverse de -100 est -0,01.

On note également a^{-1} l'inverse d'un nombre a non nul.

L'inverse du nombre 9 se note 9-1.

L'inverse d'un nombre relatif non nul a est \dfrac{1}{a} car a\times\dfrac{1}{a}=\dfrac{a}{a}=1.

  • L'inverse de -5 est \dfrac{1}{-5}=-\dfrac{1}{5}.
  • L'inverse de 9 est \dfrac{1}{9}.

Inverse d'une fraction

Sachant que a et b sont deux nombres non nuls, l'inverse de la fraction \dfrac{a}{b} est la fraction \dfrac{b}{a}.

L'inverse de \dfrac37 est \dfrac73.

B

La multiplication d'une fraction par son inverse

Diviser une fraction par un nombre non nul revient à le multiplier par son inverse.

Diviser par un nombre (non nul) revient à le multiplier par son inverse :

\dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}

\dfrac{13}{24} = 13 \times \dfrac{1}{24}

Diviser par une fraction non nulle revient à la multiplier par son inverse.

\dfrac{\dfrac{11}{5}}{\dfrac{9}{23}} = \dfrac{11}{5} \times \dfrac{23}{9}

Attention à la position du trait de fraction dans un calcul.

\dfrac{\dfrac{2}{3}}{4}\neq\dfrac{2}{\dfrac{3}{4}}

En effet :

\dfrac{\dfrac{2}{3}}{4}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}

Alors que :

\dfrac{2}{\dfrac{3}{4}}=2\times\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}

V

La comparaison de nombres rationnels

Comparer deux nombres rationnels revient à voir lequel est le plus grand, et inversement. Si deux nombres rationnels sont écrits avec le même dénominateur, celui qui a le plus grand numérateur est supérieur à l'autre. Si deux nombres rationnels sont écrits avec le même numérateur, celui qui a le plus petit dénominateur est supérieur.

Soient \dfrac{a}{b} et \dfrac{a'}{b} deux nombres rationnels écrits avec le même dénominateur b\gt0.

  • Si a\lt a', alors \dfrac{a}{b}\lt \dfrac{a'}{b}.
  • Si a\gt a', alors \dfrac{a}{b}\gt \dfrac{a'}{b}.

On sait que 27 < 45, donc \dfrac{27}{11} < \dfrac{45}{11}.

Soient \dfrac{a}{b} et \dfrac{a}{b'} deux nombres rationnels de même numérateur positif a.

  • Si b\lt b', alors \dfrac{a}{b}\gt \dfrac{a}{b'}.
  • Si b\gt b', alors \dfrac{a}{b}\lt \dfrac{a}{b'}.

On sait que 27 < 45, donc \dfrac{11}{27} > \dfrac{11}{45}.

Voir aussi
  • Quiz : Les nombres rationnels
  • Exercice : Déterminer si un nombre est rationnel
  • Exercice : Trouver le plus petit dénominateur commun entre deux fractions
  • Exercice : Mettre une fraction à un dénominateur donné
  • Exercice : Comparer des fractions de dénominateurs différents
  • Exercice : Ordonner des fractions de dénominateurs différents
  • Exercice : Comparer des nombres rationnels
  • Exercice : Ordonner des nombres rationnels
  • Exercice : Encadrer un nombre rationnel par deux nombres entiers relatifs consécutifs
  • Exercice : Additionner des nombres rationnels
  • Exercice : Soustraire des nombres rationnels
  • Exercice : Multiplier des fractions
  • Exercice : Différencier opposé et inverse
  • Exercice : Calculer l'inverse de fractions
  • Exercice : Identifier la multiplication équivalente à une division de deux nombres rationnels
  • Exercice : Diviser par des fractions

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