Les suitesCours

I

Etude globale d'une suite

A

Définition

Suite numérique

Une suite numérique est une fonction de \mathbb{N} dans \mathbb{R}.

La fonction définie pour tout entier naturel n par u(n)=2n+1 est une suite.

  • Pour désigner la suite u, on peut écrire \left(u_{n}\right) .
  • L'écriture u_{n} désigne en revanche le terme de rang n de la suite u, c'est-à-dire u\left(n\right).

Modes de génération d'une suite

Il existe trois façons de définir une suite.

1. Définition explicite
La suite \left(u_{n}\right) est définie directement par son terme général :

u_{n} = f\left(n\right)

2. Définition par récurrence
Soient f une fonction définie sur \mathbb{R} et un réel a, une suite \left(u_{n}\right) peut être définie par récurrence par son premier terme u_0=a et par, pour tout entier naturel n :

u_{n+1} = f\left(u_{n}\right)

3. Définition implicite
La suite \left(u_{n}\right) est définie par une propriété géométrique, économique, etc. au sein d'un problème.

On donne :

\forall n \in\mathbb{N}^*, u_n=5n^2+\dfrac2n

La suite est définie de manière explicite.

On donne :

\begin{cases} u_0=15 \cr \cr \forall n\in \mathbb{N},u_{n+1}=8u_n-12 \end{cases}

La suite est définie par récurrence.

B

Les suites majorées, minorées, bornées

Suite majorée

La suite \left(u_{n}\right) est majorée si et seulement s'il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :

u_{n} \leq M

On définit la suite \left( u_n \right) par :

Pour tout n \in\mathbb{N}^{\star},u_n=\dfrac1n

On a, pour tout entier naturel non nul n :

\dfrac1n\leq1

Ainsi, \left( u_n \right) est majorée par 1.

Suite minorée

La suite \left(u_{n}\right) est minorée si et seulement s'il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :

u_{n} \geq m

On définit la suite \left( u_n \right) par :

Pour tout n \in\mathbb{N}^{\star},u_n=\dfrac1n

On a, pour tout entier naturel non nul n :

\dfrac1n\geq0

Ainsi, \left( u_n \right) est minorée par 0.

Suite bornée

La suite \left(u_{n}\right) est bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.

La suite \left( u_n \right) définie pour tout entier n non nul par u_n=\dfrac1n est à la fois minorée par 0 et majorée par 1. Elle est donc bornée.

C

Le sens de variation

Suite croissante

La suite \left(u_{n}\right) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :

u_{n+1} \geq u_{n}

Considérons la suite \left(u_n \right) définie par :

\begin{cases} u_0=12 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=\left( u_n \right)^2+u_n \end{cases}

On a, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}-u_n=\left( u_n \right)^2

Or, pour tout entier naturel n :

\left(u_n \right)^2\geq0

Donc pour tout entier naturel n :

u_{n+1}-u_n\geq0

Soit :

u_{n+1}\geq u_n

Ainsi, la suite \left(u_n \right) est croissante.

Suite strictement croissante

La suite \left(u_{n}\right) est strictement croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :

u_{n+1} \gt u_{n}

Suite décroissante

La suite \left(u_{n}\right) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :

u_{n+1} \leq u_{n}

Considérons la suite \left(u_n\right) définie par :

\forall n \in\mathbb{N}^*,u_n=\dfrac1n

On a, pour tout entier naturel n non nul :

u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac1n=\dfrac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}

Or, pour tout entier naturel n non nul :

\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}\leqslant 0

Donc, pour tout entier naturel n non nul :

u_{n+1}-u_n\leq0

Soit :

u_{n+1}\leq u_n

Ainsi, la suite \left( u_n\right) est décroissante.

Suite strictement décroissante

La suite \left(u_{n}\right) est strictement décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :

u_{n+1} \lt u_{n}

Suite constante

La suite \left(u_{n}\right) est constante si et seulement si, pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini :

u_{n+1} = u_{n}

Suite monotone

La suite \left(u_{n}\right) est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante (sans changer de sens de variation).

II

Les suites particulières

A

Les suites arithmétiques

Suite arithmétique

Une suite \left(u_{n}\right) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier n pour lequel elle est définie :

u_{n+1} = u_{n} + r

On considère la suite définie par son premier terme u_0=1 et par, pour tout entier naturel n :

u_{n+1} = u_{n} - 2

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en ajoutant −2.

Cette suite est donc arithmétique.

Soit \left(u_n\right) une suite arithmétique de raison r :

  • Si r\gt0, la suite \left(u_n\right) est strictement croissante.
  • Si r\lt0, la suite \left(u_n\right) est strictement décroissante.
  • Si r=0, la suite \left(u_n\right) est constante.

Raison de la suite

Le réel r est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite était arithmétique de raison −2.

Terme général d'une suite arithmétique

Soit \left(u_{n}\right) une suite arithmétique de raison r, définie à partir du rang p. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r

En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

u_{n} = u_{0} + nr

Si \left(u_n\right) est une suite arithmétique de raison r=-2 et de premier terme u_0=3, alors, pour tout entier naturel n :

u_n=3-2n

B

Les suites géométriques

Suite géométrique

Une suite \left(u_{n}\right) est géométrique si et seulement s'il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n pour lequel elle est définie :

u_{n+1} = u_{n} \times q

On considère la suite définie par son premier terme u_0=1 et par, pour tout entier naturel n :

u_{n+1} = 3u_{n}

On remarque que l'on passe d'un terme de la suite au suivant en multipliant par 3.

Cette suite est donc géométrique.

Soit q un réel strictement positif :

  • Si q\gt1, la suite \left(q^n\right) est croissante.
  • Si 0\lt q\lt1, la suite \left(q^n\right) est décroissante.
  • Si q=1, la suite \left(q^n\right) est constante.

Raison de la suite

Le réel q est appelé raison de la suite.

Dans l'exemple précédent, la suite était géométrique de raison 3.

Terme général d'une suite géométrique

Soit \left(u_{n}\right) une suite géométrique de raison q, définie à partir du rang p. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à p, son terme général est égal à :

u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}

En particulier, si \left(u_{n}\right) est définie dès le rang 0, alors pour tout entier naturel n :

u_{n} = u_{0} \times q^{n}

Si \left(u_n\right) est une suite géométrique de raison q=2 et de premier terme u_0=3, alors pour tout entier naturel n :

u_n=3\times2^n

Limite d'une suite géométrique

Soit un réel q strictement positif :

  • Si q \lt 1, alors q^n a pour limite 0
  • Si 1 \lt q, alors q^n a pour limite +\infty
  • Si q=1, alors q^n a pour limite 1

\lim\limits_{n \to +\infty } \left( \dfrac14 \right)^n = 0 car 0\lt\dfrac{1}{4}\lt1

\lim\limits_{n \to +\infty } 5^n = +\infty car 5\gt1

  • Dire que q^n a pour limite 0 signifie que q^n est aussi proche de 0 que l'on veut dès que n est suffisamment grand.
  • Dire que q^n a pour limite +\infty signifie que q^n est aussi grand que l'on veut dès que n est suffisamment grand.

Somme des premiers termes d'une suite géométrique

Soient n un entier naturel et q un réel différent de 1 :

1+q^1+...+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

On a :

1+2^1+...+2^{15}=\dfrac{1-2^{15+1}}{1-2}=2^{16}-1

Si q est un réel strictement compris entre 0 et 1, on a :

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+q^1+...+q^n\right)=\dfrac{1}{1-q}

On a :

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^1+...+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\right)=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2

C

Les suites arithmético-géométriques

Suite arithmético-géométrique

Soient u_{0}, q et r trois réels. On considère la suite \left(u_{n}\right) définie par son premier terme u_0 et par, pour tout entier naturel n :

u_{n+1} = u_{n} \times q + r

La suite \left(u_{n}\right) est appelée suite arithmético-géométrique.

On considère la suite définie par son premier terme u_0=2 et par, pour tout entier naturel n :

u_{n+1} = 5u_{n} - 1

Cette suite est arithmético-géométrique.

  • Si q = 1, la suite est arithmétique de raison r.
  • Si r = 0, la suite est géométrique de raison q.

Pour étudier ces suites, on utilise une suite géométrique auxiliaire fournie dans l'énoncé.