Sommaire
1Montrer que la suite auxiliaire est arithmétique ou géométrique 2Donner le terme général de la suite auxiliaire 3En déduire le terme général de la suite Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 31/08/2020 - Conforme au programme 2025-2026
Pour déterminer l'expression du terme général d'une suite \left( u_n \right), l'énoncé invite parfois à utiliser une suite auxiliaire \left( v_n \right) définie en fonction de la suite \left( u_n \right).
Soit \left( u_n \right) la suite définie par :
\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=3u_n-8 \end{cases}
On considère la suite \left( v_n \right) définie par :
\forall n\in \mathbb{N},\ v_n=u_n-4
En utilisant la suite auxiliaire \left( v_n \right), déterminer l'expression du terme général de la suite \left( u_n \right) en fonction de n.
Montrer que la suite auxiliaire est arithmétique ou géométrique
On exprime v_{n+1} en fonction de v_n pour déterminer si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est arithmétique ou géométrique. On précise alors sa raison et son premier terme.
Soit n un entier naturel :
v_{n+1}=u_{n+1}-4
On remplace u_{n+1} par son expression en fonction de u_n :
v_{n+1}=3u_{n}-8-4
On remplace u_n par son expression en fonction de v_n :
v_{n+1}=3\left(v_{n}+4\right)-8-4
v_{n+1}=3v_n+12-8-4
Ainsi, pour tout entier naturel n :
v_{n+1}=3v_n
La suite \left( v_n \right) est donc une suite géométrique de raison 3. Son premier terme vaut :
v_0=u_0-4=1-4=-3
Donner le terme général de la suite auxiliaire
On donne l'expression de v_n en fonction de n. Deux cas se présentent :
- Si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est arithmétique de raison r, alors, pour tout entier naturel n, v_n=v_0+nr.
- Si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est géométrique de raison q, alors, pour tout entier naturel n, v_n=q^nv_0.
La suite \left( v_n \right) est géométrique de raison 3 et de premier terme v_0=-3. Donc, pour tout entier naturel n :
v_n=-3\times3^n=-3^{n+1}
En déduire le terme général de la suite
On remplace v_n par l'expression trouvée dans l'étape précédente dans la définition de la suite auxiliaire pour en déduire l'expression du terme général de la suite \left( u_n \right).
Pour tout entier naturel n, on a :
u_n=v_n+4
On a donc, pour tout entier naturel n :
u_n=4-3^{n+1}