Etudier une suite à l'aide d'une suite auxiliaireMéthode

Pour déterminer l'expression du terme général d'une suite \left( u_n \right), l'énoncé invite parfois à utiliser une suite auxiliaire \left( v_n \right) définie en fonction de la suite \left( u_n \right).

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=3u_n-8 \end{cases}

On considère la suite \left( v_n \right) définie par :

\forall n\in \mathbb{N},\ v_n=u_n-4

En utilisant la suite auxiliaire \left( v_n \right), déterminer l'expression du terme général de la suite \left( u_n \right) en fonction de n.

Etape 1

Montrer que la suite auxiliaire est arithmétique ou géométrique

On exprime v_{n+1} en fonction de v_n pour déterminer si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est arithmétique ou géométrique. On précise alors sa raison et son premier terme.

Soit n un entier naturel :

v_{n+1}=u_{n+1}-4

On remplace u_{n+1} par son expression en fonction de u_n :

v_{n+1}=3u_{n}-8-4

On remplace u_n par son expression en fonction de v_n :

v_{n+1}=3\left(v_{n}+4\right)-8-4

v_{n+1}=3v_n+12-8-4

Ainsi, pour tout entier naturel n :

v_{n+1}=3v_n

La suite \left( v_n \right) est donc une suite géométrique de raison 3. Son premier terme vaut :

v_0=u_0-4=1-4=-3

Etape 2

Donner le terme général de la suite auxiliaire

On donne l'expression de v_n en fonction de n. Deux cas se présentent :

  • Si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est arithmétique de raison r, alors, pour tout entier naturel n, v_n=v_0+nr.
  • Si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est géométrique de raison q, alors, pour tout entier naturel n, v_n=q^nv_0.

La suite \left( v_n \right) est géométrique de raison 3 et de premier terme v_0=-3. Donc, pour tout entier naturel n :

v_n=-3\times3^n=-3^{n+1}

Etape 3

En déduire le terme général de la suite

On remplace v_n par l'expression trouvée dans l'étape précédente dans la définition de la suite auxiliaire pour en déduire l'expression du terme général de la suite \left( u_n \right).

Pour tout entier naturel n, on a :

u_n=v_n+4

On a donc, pour tout entier naturel n :

u_n=4-3^{n+1}

Questions fréquentes

Quelles sont les matières disponibles sur Kartable ?

Sur Kartable, l'élève accède à toutes les matières principales de la primaire au lycée, y compris pour les spécialités et les options. Mathématiques, physique-chimie, SVT, sciences, français, littérature, histoire, géographie, enseignement moral et civique, SES, philosophie, anglais, allemand et espagnol.
Inscrivez-vous

Les cours sont-ils conformes aux programmes officiels de l'Education nationale ?

L'intégralité des cours sur Kartable est rédigée par des professeurs de l'Éducation nationale et est conforme au programme en vigueur, incluant la réforme du lycée de l'année 2019-2020.
Choisissez votre formule

L'élève peut-il accéder à tous les niveaux ?

Sur Kartable, l'élève peut accéder à toutes les matières dans tous les niveaux de son choix. Ainsi, il peut revenir sur les notions fondamentales qu'il n'aurait pas comprises les années précédentes et se perfectionner.
Plus d'info

Kartable est-il gratuit ?

L'inscription gratuite donne accès à 10 contenus (cours, exercices, fiches ou quiz). Pour débloquer l'accès illimité aux contenus, aux corrections d'exercices, mode hors-ligne et téléchargement en PDF, il faut souscrire à l'offre Kartable Premium.
Plus d'info

Qui rédige les cours de Kartable ?

L'intégralité des contenus disponibles sur Kartable est conçue par notre équipe pédagogique, composée de près de 200 enseignants de l'Éducation nationale que nous avons sélectionnés.
Afficher plus

Qu'est ce que le service Prof en ligne ?

L'option Prof en ligne est un service de chat en ligne entre élèves et professeurs. Notre Prof en ligne répond à toutes les questions sur les cours, exercices, méthodologie et aide au devoirs, pour toutes les classes et dans toutes les matières. Le service est ouvert du lundi au vendredi de 16h à 19h pour les membres ayant souscrit à l'option.
Choisissez votre formule