Etudier une suite à l'aide d'une suite auxiliaireMéthode

Pour déterminer l'expression du terme général d'une suite \left( u_n \right), l'énoncé invite parfois à utiliser une suite auxiliaire \left( v_n \right) définie en fonction de la suite \left( u_n \right).

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=3u_n-8 \end{cases}

On considère la suite \left( v_n \right) définie par :

\forall n\in \mathbb{N},\ v_n=u_n-4

En utilisant la suite auxiliaire \left( v_n \right), déterminer l'expression du terme général de la suite \left( u_n \right) en fonction de n.

Etape 1

Montrer que la suite auxiliaire est arithmétique ou géométrique

On exprime v_{n+1} en fonction de v_n pour déterminer si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est arithmétique ou géométrique. On précise alors sa raison et son premier terme.

Soit n un entier naturel :

v_{n+1}=u_{n+1}-4

On remplace u_{n+1} par son expression en fonction de u_n :

v_{n+1}=3u_{n}-8-4

On remplace u_n par son expression en fonction de v_n :

v_{n+1}=3\left(v_{n}+4\right)-8-4

v_{n+1}=3v_n+12-8-4

Ainsi, pour tout entier naturel n :

v_{n+1}=3v_n

La suite \left( v_n \right) est donc une suite géométrique de raison 3. Son premier terme vaut :

v_0=u_0-4=1-4=-3

Etape 2

Donner le terme général de la suite auxiliaire

On donne l'expression de v_n en fonction de n. Deux cas se présentent :

  • Si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est arithmétique de raison r, alors, pour tout entier naturel n, v_n=v_0+nr.
  • Si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est géométrique de raison q, alors, pour tout entier naturel n, v_n=q^nv_0.

La suite \left( v_n \right) est géométrique de raison 3 et de premier terme v_0=-3. Donc, pour tout entier naturel n :

v_n=-3\times3^n=-3^{n+1}

Etape 3

En déduire le terme général de la suite

On remplace v_n par l'expression trouvée dans l'étape précédente dans la définition de la suite auxiliaire pour en déduire l'expression du terme général de la suite \left( u_n \right).

Pour tout entier naturel n, on a :

u_n=v_n+4

On a donc, pour tout entier naturel n :

u_n=4-3^{n+1}