Etudier une suite à l'aide d'une suite auxiliaire Méthode

Sommaire

1Montrer que la suite auxiliaire est arithmétique ou géométrique 2Donner le terme général de la suite auxiliaire 3En déduire le terme général de la suite

Pour déterminer l'expression du terme général d'une suite \left( u_n \right), l'énoncé invite parfois à utiliser une suite auxiliaire \left( v_n \right) définie en fonction de la suite \left( u_n \right).

Soit \left( u_n \right) la suite définie par :

\begin{cases} u_0=1 \cr \cr \forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=3u_n-8 \end{cases}

On considère la suite \left( v_n \right) définie par :

\forall n\in \mathbb{N},\ v_n=u_n-4

En utilisant la suite auxiliaire \left( v_n \right), déterminer l'expression du terme général de la suite \left( u_n \right) en fonction de n.

Etape 1

Montrer que la suite auxiliaire est arithmétique ou géométrique

On exprime v_{n+1} en fonction de v_n pour déterminer si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est arithmétique ou géométrique. On précise alors sa raison et son premier terme.

Soit n un entier naturel :

v_{n+1}=u_{n+1}-4

On remplace u_{n+1} par son expression en fonction de u_n :

v_{n+1}=3u_{n}-8-4

On remplace u_n par son expression en fonction de v_n :

v_{n+1}=3\left(v_{n}+4\right)-8-4

v_{n+1}=3v_n+12-8-4

Ainsi, pour tout entier naturel n :

v_{n+1}=3v_n

La suite \left( v_n \right) est donc une suite géométrique de raison 3. Son premier terme vaut :

v_0=u_0-4=1-4=-3

Etape 2

Donner le terme général de la suite auxiliaire

On donne l'expression de v_n en fonction de n. Deux cas se présentent :

  • Si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est arithmétique de raison r, alors, pour tout entier naturel n, v_n=v_0+nr.
  • Si la suite auxiliaire \left( v_n \right) est géométrique de raison q, alors, pour tout entier naturel n, v_n=q^nv_0.

La suite \left( v_n \right) est géométrique de raison 3 et de premier terme v_0=-3. Donc, pour tout entier naturel n :

v_n=-3\times3^n=-3^{n+1}

Etape 3

En déduire le terme général de la suite

On remplace v_n par l'expression trouvée dans l'étape précédente dans la définition de la suite auxiliaire pour en déduire l'expression du terme général de la suite \left( u_n \right).

Pour tout entier naturel n, on a :

u_n=v_n+4

On a donc, pour tout entier naturel n :

u_n=4-3^{n+1}