Montrer qu'une suite est géométrique Méthode

Sommaire

1Exprimer u_{n+1} en fonction de u_n 2Identifier l'éventuelle raison de la suite 3Conclure sur la nature de la suite

Pour déterminer l'écriture explicite d'une suite, on peut avant tout montrer que la suite est géométrique et déterminer sa raison.

On considère la suite \left( v_n \right) définie par v_0=2 et, pour tout entier naturel n, par :

v_{n+1}=4v_n+1

On s'intéresse alors à la suite \left( u_n \right) définie pour tout entier naturel n par :

u_n=v_n+\dfrac13

Montrer que la suite \left( u_n \right) est géométrique et déterminer sa raison.

Etape 1

Exprimer u_{n+1} en fonction de u_n

Pour tout entier naturel n, on factorise l'expression donnant u_{n+1} de manière à faire apparaître u_n, en simplifiant au maximum le facteur que multiplie u_n.

Soit n un entier naturel :

u_{n+1}=v_{n+1}+\dfrac{1}{3}.

On remplace v_{n+1} par son expression en fonction de v_n :

u_{n+1}=4v_{n}+1+\dfrac{1}{3}

On remplace v_{n} par son expression en fonction de u_n :

u_{n+1}=4\left(u_{n}-\dfrac13\right)+1+\dfrac{1}{3}

u_{n+1}=4u_{n}-\dfrac43+\dfrac33+\dfrac{1}{3}

u_{n+1}=4u_{n}

Etape 2

Identifier l'éventuelle raison de la suite

On vérifie qu'il existe un réel q indépendant de la variable n tel que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=q\times u_n.

En posant q=4, on a bien, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=qu_{n}.

Etape 3

Conclure sur la nature de la suite

S'il existe un réel q indépendant de la variable n tel que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=q\times u_n, on peut conclure que la suite est géométrique de raison q. On précise alors son premier terme.

La suite \left( u_n \right) est donc une suite géométrique de raison 4. Son premier terme vaut :

u_0=v_0+\dfrac13=2+\dfrac13=\dfrac73