Montrer qu'une suite est géométriqueMéthode

Pour déterminer l'écriture explicite d'une suite, on peut avant tout montrer que la suite est géométrique et déterminer sa raison.

On considère la suite \left( v_n \right) définie par v_0=2 et, pour tout entier naturel n, par :

v_{n+1}=4v_n+1

On s'intéresse alors à la suite \left( u_n \right) définie pour tout entier naturel n par :

u_n=v_n+\dfrac13

Montrer que la suite \left( u_n \right) est géométrique et déterminer sa raison.

Etape 1

Exprimer u_{n+1} en fonction de u_n

Pour tout entier naturel n, on factorise l'expression donnant u_{n+1} de manière à faire apparaître u_n, en simplifiant au maximum le facteur que multiplie u_n.

Soit n un entier naturel :

u_{n+1}=v_{n+1}+\dfrac{1}{3}.

On remplace v_{n+1} par son expression en fonction de v_n :

u_{n+1}=4v_{n}+1+\dfrac{1}{3}

On remplace v_{n} par son expression en fonction de u_n :

u_{n+1}=4\left(u_{n}-\dfrac13\right)+1+\dfrac{1}{3}

u_{n+1}=4u_{n}-\dfrac43+\dfrac33+\dfrac{1}{3}

u_{n+1}=4u_{n}

Etape 2

Identifier l'éventuelle raison de la suite

On vérifie qu'il existe un réel q indépendant de la variable n tel que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=q\times u_n.

En posant q=4, on a bien, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=qu_{n}.

Etape 3

Conclure sur la nature de la suite

S'il existe un réel q indépendant de la variable n tel que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=q\times u_n, on peut conclure que la suite est géométrique de raison q. On précise alors son premier terme.

La suite \left( u_n \right) est donc une suite géométrique de raison 4. Son premier terme vaut :

u_0=v_0+\dfrac13=2+\dfrac13=\dfrac73