Sommaire
1Exprimer u_{n+1} en fonction de u_n 2Identifier l'éventuelle raison de la suite 3Conclure sur la nature de la suite Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 31/08/2020 - Conforme au programme 2024-2025
Pour déterminer l'écriture explicite d'une suite, on peut avant tout montrer que la suite est géométrique et déterminer sa raison.
On considère la suite \left( v_n \right) définie par v_0=2 et, pour tout entier naturel n, par :
v_{n+1}=4v_n+1
On s'intéresse alors à la suite \left( u_n \right) définie pour tout entier naturel n par :
u_n=v_n+\dfrac13
Montrer que la suite \left( u_n \right) est géométrique et déterminer sa raison.
Exprimer u_{n+1} en fonction de u_n
Pour tout entier naturel n, on factorise l'expression donnant u_{n+1} de manière à faire apparaître u_n, en simplifiant au maximum le facteur que multiplie u_n.
Soit n un entier naturel :
u_{n+1}=v_{n+1}+\dfrac{1}{3}.
On remplace v_{n+1} par son expression en fonction de v_n :
u_{n+1}=4v_{n}+1+\dfrac{1}{3}
On remplace v_{n} par son expression en fonction de u_n :
u_{n+1}=4\left(u_{n}-\dfrac13\right)+1+\dfrac{1}{3}
u_{n+1}=4u_{n}-\dfrac43+\dfrac33+\dfrac{1}{3}
u_{n+1}=4u_{n}
Identifier l'éventuelle raison de la suite
On vérifie qu'il existe un réel q indépendant de la variable n tel que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=q\times u_n.
En posant q=4, on a bien, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=qu_{n}.
Conclure sur la nature de la suite
S'il existe un réel q indépendant de la variable n tel que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=q\times u_n, on peut conclure que la suite est géométrique de raison q. On précise alors son premier terme.
La suite \left( u_n \right) est donc une suite géométrique de raison 4. Son premier terme vaut :
u_0=v_0+\dfrac13=2+\dfrac13=\dfrac73