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Dernière modification : 31/08/2020 - Conforme au programme 2026-2027
Pour déterminer l'écriture explicite d'une suite, on peut avant tout montrer que la suite est géométrique et déterminer sa raison.
On considère la suite \left( v_n \right) définie par v_0=2 et, pour tout entier naturel n, par :
v_{n+1}=4v_n+1
On s'intéresse alors à la suite \left( u_n \right) définie pour tout entier naturel n par :
u_n=v_n+\dfrac13
Montrer que la suite \left( u_n \right) est géométrique et déterminer sa raison.
Pour tout entier naturel n, on factorise l'expression donnant u_{n+1} de manière à faire apparaître u_n, en simplifiant au maximum le facteur que multiplie u_n.
Soit n un entier naturel :
u_{n+1}=v_{n+1}+\dfrac{1}{3}.
On remplace v_{n+1} par son expression en fonction de v_n :
u_{n+1}=4v_{n}+1+\dfrac{1}{3}
On remplace v_{n} par son expression en fonction de u_n :
u_{n+1}=4\left(u_{n}-\dfrac13\right)+1+\dfrac{1}{3}
u_{n+1}=4u_{n}-\dfrac43+\dfrac33+\dfrac{1}{3}
u_{n+1}=4u_{n}
On vérifie qu'il existe un réel q indépendant de la variable n tel que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=q\times u_n.
En posant q=4, on a bien, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=qu_{n}.
S'il existe un réel q indépendant de la variable n tel que, pour tout entier naturel n, u_{n+1}=q\times u_n, on peut conclure que la suite est géométrique de raison q. On précise alors son premier terme.
La suite \left( u_n \right) est donc une suite géométrique de raison 4. Son premier terme vaut :
u_0=v_0+\dfrac13=2+\dfrac13=\dfrac73
On exprime u(n+1) en fonction de u(n), puis on montre qu'il existe un réel q, indépendant de n, tel que u(n+1) = q × u(n) pour tout entier n. La suite est alors géométrique de raison q, et on précise son premier terme.
La raison est le nombre q par lequel on multiplie un terme pour obtenir le suivant : u(n+1) = q × u(n). Elle ne dépend pas de n. Par exemple, si u(n+1) = 4u(n), la suite est géométrique de raison 4.
Une suite géométrique de raison q vérifie, pour tout entier naturel n : u(n+1) = q × u(n). Pour la définir complètement, on donne aussi son premier terme, par exemple u(0).