Montrer qu'une suite est arithmétiqueMéthode

Pour déterminer l'écriture explicite d'une suite, on demande souvent de montrer qu'une suite est arithmétique, puis de déterminer son premier terme et sa raison.

On considère la suite \left( v_n \right) définie par v_0=-1, v_1=\dfrac{1}{2} et, pour tout entier naturel n, par :

v_{n+2}=v_{n+1}-\dfrac{1}{4}v_n

On considère alors \left( u_n \right) la suite définie pour tout entier naturel n :

u_n=\dfrac{v_n}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}

On admet que, pour tout entier naturel n, v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n\neq0. On veut montrer que la suite \left( u_n \right) est arithmétique et déterminer sa raison.

Etape 1

Calculer u_{n+1}-u_{n}

Pour tout entier naturel n, on calcule et réduit la différence u_{n+1}-u_{n}.

Soit n un entier naturel. Comme, pour tout entier naturel, v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n\neq0, on obtient :

u_{n+1}-u_n=\dfrac{v_{n+1}}{v_{n+2}-\dfrac{1}{2}v_{n+1}}-\dfrac{v_{n}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}

u_{n+1}-u_n=\dfrac{v_{n+1}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{4}v_n-\dfrac{1}{2}v_{n+1}}-\dfrac{v_{n}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}

u_{n+1}-u_n=\dfrac{v_{n+1}}{\dfrac12v_{n+1}-\dfrac{1}{4}v_n}-\dfrac{v_{n}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}

u_{n+1}-u_n=\dfrac{v_{n+1}}{\dfrac12\left(v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n\right)}-\dfrac{v_{n}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}

u_{n+1}-u_n=\dfrac{2v_{n+1}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}-\dfrac{v_{n}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}

u_{n+1}-u_n=\dfrac{2v_{n+1}-v_n}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}

u_{n+1}-u_n=\dfrac{2\left(v_{n+1}-\dfrac12v_n\right)}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}=2

Etape 2

Identifier l'éventuelle raison de la suite

On regarde, si, pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_{n} est égal à une constante r (un réel fixe, c'est-à-dire indépendant de la variable n).

En posant r=2, on a bien, pour tout entier naturel n :

u_{n+1}-u_{n}=r

Etape 3

Conclure sur la nature de la suite

Si, pour tout entier naturel n, u_{n+1}-u_{n} est égal à une constante r, on peut conclure que la suite est arithmétique de raison r. On précise alors son premier terme.

On peut donc conclure que la suite \left( u_n \right) est une suite arithmétique de raison 2. Son premier terme vaut :

u_0=\dfrac{v_0}{v_{1}-\dfrac{1}{2}v_0}=\dfrac{-1}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}=-1

Questions fréquentes

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