Résolutions graphiques d'équations ou inéquationsCours

I

Équations du type f(x)=k

Soit f une fonction et k un nombre réel fixé.

Pour résoudre graphiquement une équation du type f\left(x\right)=k, on peut utiliser la représentation graphique de f avec les étapes suivantes :

  1. Tracer la représentation graphique de f, c'est-à-dire la courbe d'équation y=f\left(x\right).

  2. Tracer la droite horizontale d'équation y=k.

  3. Trouver les points d'intersections des deux courbes.

  4. Les solutions sont les abscisses de ces points.

On cherche à résoudre dans \mathbb{R} l'équation \dfrac{1}{8}x^3-x^2+6=3.

Soit f la fonction définie sur par f\left(x\right)=\dfrac{1}{8}x^3-x^2+6.

L'équation équivaut à f\left(x\right)=3.

Si elle n'est pas déjà donnée, on trace la représentation graphique de f à l'aide d'une calculatrice ou d'un ordinateur.

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On trace la droite d'équation y=3.

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On trouve les points d'intersections.

Attention de ne pas en oublier !

Ici, il y en a 3 comme le montre le graphique ci-dessous.

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Les solutions de l'équation f\left(x\right)=3 sont les abscisses des points d'intersection obtenus. On en donne des valeurs approchées (ici au dixième), car la lecture graphique ne permet pas en général d'avoir des valeurs exactes.

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Etape 5

Conclusion

L'équation \dfrac{1}{8}x^3-x^2+6=3  admet 3 solutions réelles, qui sont :

x_1 \approx -1{,}5\ ;\ x_2 \approx 2 \ ;\ x_3 \approx 7{,}6

Les solutions sont les abscisses des points, et pas les points eux-mêmes.

Les solutions trouvées sont les antécédents de k par f.

II

Équations du type f(x)=g(x)

Pour résoudre graphiquement une équation du type f\left(x\right)=g\left(x\right), on procède comme pour résoudre une équation du type f\left(x\right)=k, mais en cherchant les points d'intersections des courbes de f et de g.

  1. On trace la courbe représentative de f, d'équation  y = f\left(x\right).

  2. On trace la courbe représentative de g, d'équation y=g\left(x\right).

  3. On repère les points d'intersection des deux courbes.

  4. Les solutions de l'équation sont les abscisses de ces points.

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Attention à bien prendre pour solutions les abscisses des points d'intersection, et pas les ordonnées !

III

Inéquations du type f(x) \lt k

Soit f une fonction et k un nombre réel fixé.

Pour résoudre graphiquement une inéquation du type f\left(x\right) \lt k, on peut utiliser la représentation graphique de f avec les étapes suivantes :

  1. Tracer la représentation graphique de f, c'est-à-dire la courbe d'équation y=f\left(x\right).

  2. Tracer la droite horizontale d'équation y=f\left(x\right).

  3. Trouver les points de la courbe qui sont situés strictement sous cette droite.

  4. L'ensemble des solutions est un intervalle (ou une union d'intervalles) correspondant aux abscisses de ces points.

On cherche à résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation \dfrac{1}{8}x^3-x^2+6 \lt 3.

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{1}{8}x^3-x^2+6.

L'inéquation équivaut à f\left(x\right) \lt 3.

Si elle n'est pas déjà donnée, on trace la représentation graphique de f à l'aide d'une calculatrice ou d'un ordinateur.

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On trace la droite d'équation y=3.

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On trouve les points d'intersection de la courbe et de la droite, puis on détermine leurs abscisses.

Ici, ce sont les valeurs (arrondies au dixième) x_1 \approx −1{,}5\ ;\ x_2 \approx 2 \ ;\ x_3 \approx 7{,}6.

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On repère les portions de la courbe situées strictement sous la droite d'équation y=3, puis on détermine à quels intervalles elles correspondent.

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Ici, la courbe est située strictement sous la droite d'équation y=3 lorsque :

  • x \lt -1{,}6

  • 2 \lt x \lt 7{,}6

 

Ce sont des valeurs approchées, car la lecture graphique ne permet pas en général d'avoir des valeurs exactes. Ici, on donne des valeurs arrondies au dixième.

Etape 5

Conclusion

L'ensemble solution de l'équation est, à {10^{−1}}  près :

\bf{S = \left] - \infty;-1{,}6 \right[ \cup \left]2;7{,}6 \right[}

On utilise le même principe pour résoudre graphiquement des inéquations du type f\left(x\right) \gt k, f\left(x\right) \leqslant k ou f\left(x\right) \geqslant k, en faisant bien attention chaque fois de regarder si on doit inclure les bornes des intervalles ou pas.

IV

Inéquation du type f(x) \lt g(x)

Pour résoudre une inéquation du type f\left(x\right) \lt g\left(x\right), on compare les positions relatives des courbes représentatives de f et g.

Soit f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I, et leurs courbes représentatives.

Soit x un nombre réel de l'intervalle I.

f\left(x\right) \lt g\left(x\right) si et seulement si, pour cette abscisse x, la courbe représentative de f est située strictement sous la courbe représentative de g.

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La méthode pour résoudre ce type d'inéquation est la suivante :

  1. On trace la courbe représentative de f, d'équation y = f\left(x\right).

  2. On trace la courbe représentative de g, d'équation y=g\left(x\right).

  3. On regarde quelles portions de la courbe de f sont situées strictement sous la courbe de g.

  4. On détermine le(s) intervalle(s) correspondant à ces portions sur l'axe des abscisses.

  5. L'ensemble des solutions est l'union de ces intervalles (ou cet intervalle s'il n'y en a qu'un).

On considère les fonctions f et g dont les courbes représentatives sont données précédemment, et on cherche à résoudre l'inéquation f\left(x\right) \lt g\left(x\right) sur l'intervalle \left[0 ; 5\right].

Autrement dit, on ne s'intéresse qu'aux solutions comprises entre 0 et 5.

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Sur le graphique ci-dessus, on voit que C_f est située strictement sous C_g si et seulement si l'abscisse est strictement comprise entre 1 et environ 3,7.

C'est-à-dire : f\left(x\right) \lt g\left(x\right) \Leftrightarrow 1 \lt x \lt 3{,}7.

L'ensemble solution de l'inéquation est donc \bf{ S = \left]1;3{,}7 \right[ }.

La méthode est la même pour résoudre des inéquations du type f\left(x\right) \leqslant g\left(x\right), f\left(x\right) \gt g\left(x\right) ou f\left(x\right) \geqslant g\left(x\right), en faisant bien attention chaque fois de regarder si on doit inclure les bornes des intervalles ou pas.