On considère la figure ci-contre.
On donne les mesures suivantes :
- AN = 13 \text{ cm}
- LN = 5 \text{ cm}
- AL = 12 \text{ cm}
- ON = 3 \text{ cm}
- O appartient au segment [LN].
- H appartient au segment [NA].
Le triangle LNA est-il rectangle ?
Dans le triangle LNA, le côté le plus long est [AN].
On calcule séparément AN^2 et AL^2+LN^2.
D'une part :
AN^2=13^2=169
D'autre part :
AL^2+LN^2=12^2+5^2=144+25=169
On remarque que AN^2=AL^2+LN^2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle LNA est rectangle en L.
Le triangle LNA est rectangle en L.
Combien mesure la longueur OH ?
Le triangle LNA est rectangle en L.
On en déduit que les droites (AL) et (LN) sont perpendiculaires.
Par ailleurs, on sait que les droites (OH) et (LN) sont perpendiculaires.
Or, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
On en déduit que les droites (AL) et (OH) sont parallèles.
Par ailleurs, on sait que :
- Les points N, H et A sont alignés.
- Les points N, O et L sont alignés.
On peut donc appliquer le théorème de Thalès :
\dfrac{NO}{NL}=\dfrac{NH}{NA}=\dfrac{OH}{LA}
En particulier, on a :
\dfrac{NO}{NL}=\dfrac{OH}{LA}
Or, on sait que NO = 3 \text{ cm}, que NL = 5 \text{ cm} et que LA = 12 \text{ cm}.
On obtient donc :
\dfrac{3}{5}=\dfrac{OH}{12}
On effectue ensuite un produit en croix :
OH=\dfrac{3\times12}{5}
Et on obtient finalement :
OH=7{,}2\text{ cm}
La longueur OH mesure 7,2 cm.
Quelle est la mesure de l'angle \widehat{LNA}, arrondie à l'unité près ?
Le triangle LNA est rectangle en L.
On sait que :
- [NL] est le côté adjacent à l'angle \widehat{LNA}.
- NL = 5 \text{ cm}
- [NA] est l'hypoténuse.
- NA = 13 \text{ cm}
On peut donc calculer le cosinus de l'angle \widehat{LNA} :
\text{cos}(\widehat{LNA})=\dfrac{\text{Côté adjacent}}{\text{Hypoténuse}}=\dfrac{NL}{NA}=\dfrac{5}{13}
En utilisant la touche « arccos » de la calculatrice, on en déduit la mesure de l'angle \widehat{LNA}, arrondie au degré :
67°
La mesure de l'angle \widehat{LNA}, arrondie à l'unité près, est de 67°.
Les triangles LNA et ONH sont-ils semblables ?
L'angle \widehat{LNA} est un angle commun aux triangles LNA et ONH.
Par ailleurs, \widehat{LNA}=\widehat{HON}=90°.
Ainsi, les triangles LNA et ONH ont deux paires d'angles de mêmes mesures.
Par conséquent, ce sont des triangles semblables.
Oui, les triangles LNA et ONH sont semblables.